Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 1220. (March 2014)

C. 1220. The diagram shows a regular rectangular lattice. The broken line can be continued in the same way as shown.

Every new line segment is one unit longer than the previous one. What is the minimum total length of the line to be drawn if the line is to end at a point whose distance from the starting point A is an integer?

(5 pont)

Deadline expired on April 10, 2014.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az \(\displaystyle A\)-ból induló, \(\displaystyle E\)-t tartalmazó félegyenesen végtelen sok szakasz vége található, de ezek az \(\displaystyle A\)-tól \(\displaystyle \sqrt3\) egész számú többszörösére vannak. Vagyis errefelé nincs jó befejező pont. Hasonlóan az \(\displaystyle A\)-ból induló, \(\displaystyle D\)-t tartalmazó félegyenesen végtelen sok szakasz vége található, de ezek az \(\displaystyle A\)-tól szintén \(\displaystyle \sqrt3\) egész számú többszörösére vannak. Vagyis errefelé sincs jó befejező pont.

Még a \(\displaystyle B\)-ből induló, \(\displaystyle C\)-t tartalmazó félegyenesen található végpontokat kell megvizsgálnunk. Sorszámozzuk a \(\displaystyle C\) pontokat. Határozzuk meg az \(\displaystyle AC_n\) szakasz hosszát. Írjuk fel a koszinusztételt az \(\displaystyle ABC_n\) háromszögre:

\(\displaystyle AC_n=\sqrt{1+(n\sqrt3)^2-2\cdot n\sqrt3\cdot \cos150^{\circ}},\)

\(\displaystyle AC_n=\sqrt{3n^2+3n+1}.\)

Csak a legkisebb pozitív egész \(\displaystyle n\)-t keressük, amelyre \(\displaystyle 3n^2+3n+1\) négyzetszám, így a \(\displaystyle 3n^2+3n+1=m^2\) egyenlet megoldása előtt tegyünk egy kísérletet, és nézzük meg az \(\displaystyle n=1,2,3,4,...\) értékeket, hátha megkapjuk a várva várt értéket. És valóban, \(\displaystyle n=7\) esetén: \(\displaystyle 3\cdot7^2+3\cdot7+1=13^2\). Vagyis a \(\displaystyle C_7\)-nél kell megállnunk, és eddig 22 szakaszt rajzolunk le. Ezek hosszának összege: \(\displaystyle 1+2+...+22=\frac{22\cdot23}{2}=253\).


Statistics:

92 students sent a solution.
5 points:Balázs Ákos Miklós, Bekő Zsófia, Bereczki Zoltán, Bottlik Judit, Brányi Balázs, Demeter Dániel, Denke Dorottya, Dombrovszky Borbála, Döbröntei Dávid Bence, Erdei Ákos, Erdős Zoltán, Farkas Dóra, Fényes Balázs, Fetter László, Gnandt Balázs, Harangozó Ákos, Heinc Emília, Horváth 016 Gábor, Kardos Bálint Tamás, Kasó Ferenc, Kerekes Anna, Kis 913 Levente, Klász Viktória, Knoch Júlia, Kocsis Júlia, Kovács Péter Tamás, Matusek Márton, Mihálykó Péter, Molnár-Sáska Zoltán, Pap-Takács Mónika, Papp 535 Ágnes, Polgár Márton, Ratkovics Gábor, Sándor Gergely, Somogyi Pál, Szabó 157 Dániel, Szász Róbert, Széles Katalin, Szemerédi Levente, Sziegl Benedek, Szücs Patrícia, Telek Máté László, Temesvári Fanni, Tompa Tamás Lajos, Várkonyi Dorka, Varsányi András, Zhorela Viktor, Zsiros Ádám.
4 points:19 students.
3 points:5 students.
2 points:4 students.
1 point:9 students.
0 point:3 students.
Unfair, not evaluated:4 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2014