KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1221. F is the midpoint of side AD of a square ABCD. N is the point lying closer to B that divides side AB in a 1:3 ratio. In what ratio does the circumscribed circle of triangle AFN divide the diagonal AC?

(5 points)

Deadline expired on 10 April 2014.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Legyenek a négyzet csúcsainak koordinátái \(\displaystyle A(0;0)\), \(\displaystyle B(4;0)\), \(\displaystyle C(4,4)\) és \(\displaystyle D(0,4)\). Ekkor \(\displaystyle F(0;2)\) és \(\displaystyle N(3;0)\).

Az \(\displaystyle AFN\) háromszög derékszögű, körülírt körének középpontja az \(\displaystyle FN\) szakasz felezőpontja, \(\displaystyle K(1,5;1)\). A kör sugara \(\displaystyle r=\frac{FN}{2}=\frac{\sqrt{(-3)^2+2^2}}{2}=\frac{\sqrt{13}}{2}\). Így a kör egyenlete: \(\displaystyle (x-1,5)^2+(y-1)^2=\frac{13}{4}\).

Az \(\displaystyle AC\) átló egyenesének egyenlete \(\displaystyle x=y\). Ezt behelyettesítve a kör egyenletbe, majd az egyenletet rendezve és megoldva:

\(\displaystyle (x-1,5)^2+(x-1)^2=\frac{13}{4},\)

\(\displaystyle x^2-3x+2,25+x^2-2x+1=3,25,\)

\(\displaystyle 2x^2-5x=0,\)

\(\displaystyle x(2x-5)=0,\)

\(\displaystyle x_1=0\) és \(\displaystyle x_2=2,5\).

Tehát a két metszéspont \(\displaystyle A(0;0)\) és \(\displaystyle P(2,5;2,5)\).

Legyen \(\displaystyle P_x(\frac52;0)\). Ekkor a párhuzamos szelők tétele szerint \(\displaystyle \frac{AP}{PC}=\frac{AP_x}{P_xB}=\frac{2,5}{1,5}=\frac53\), tehát az \(\displaystyle AFN\) háromszög köré írt köre az \(\displaystyle AC\) átlót 5:3 arányban osztja .


Statistics on problem C. 1221.
114 students sent a solution.
5 points:53 students.
4 points:36 students.
3 points:9 students.
2 points:6 students.
1 point:6 students.
0 point:4 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, March 2014

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley