KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1223. The lateral faces of a regular four-sided pyramid are equilateral triangles. What is the angle enclosed by adjacent lateral faces?

(5 points)

This problem is for grade 11 - 12 students only.

Deadline expired on 10 April 2014.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Legyen a gúla minden éle \(\displaystyle a\) hosszúságú. Tekintsük az \(\displaystyle ABE\) és a \(\displaystyle CBE\) lapot, az \(\displaystyle EB\) él felezőpontja legyen \(\displaystyle F\). Mivel \(\displaystyle AF\perp EB\) és \(\displaystyle CF\perp EB\), ezért a két lap hajlásszöge az \(\displaystyle AFC\angle\), melyet jelöljön \(\displaystyle \alpha\).

Tekintsük az \(\displaystyle AFC\) háromszöget. Mivel \(\displaystyle AC\) az alaplap átlója, ezért hossza \(\displaystyle \sqrt2a\). A másik két oldal pedig az \(\displaystyle a\) oldalú szabályos háromszög magassága, ezért mindkettő \(\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}a\) hosszú.

Írjuk fel az \(\displaystyle AFC\) háromszögben a koszinusz-tételt:

\(\displaystyle (\sqrt2a)^2=\left(\frac{\sqrt3}{2}a\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}a\right)^2 -2\cdot\frac{\sqrt3}{2}a\cdot\frac{\sqrt3}{2}a\cdot\cos\alpha,\)

mindkét oldalt osztva \(\displaystyle a^2\neq0\)-val majd rendezve:

\(\displaystyle 2=\frac34+\frac34-\frac32\cos\alpha,\)

\(\displaystyle \frac12=-\frac32\cos\alpha,\)

\(\displaystyle \cos\alpha=-\frac13,\)

amiből, mivel \(\displaystyle 0<\alpha<180^{\circ}\):

\(\displaystyle \alpha\approx109,47^{\circ}.\)

Tehát a gúla két szomszédos oldallapjának hajlásszöge \(\displaystyle \approx109,47^{\circ}\).


Statistics on problem C. 1223.
41 students sent a solution.
5 points:Bajnok Anna, Beke 997 Tamás, Bereczki Zoltán, Bögös Dániel, Chourfi Abdel Karim, Demeter Dániel, Denke Dorottya, Dombrovszky Borbála, Farkas Dóra, Gnandt Balázs, Jójárt Alexandra, Kranczler Dóra, Paulovics Zoltán, Szabó 157 Dániel, Szabó 524 Tímea, Temesvári Fanni, Zsiros Ádám.
4 points:Fényes Balázs, Ficsor Enikő, Hegel Patrik, Hegyi Zoltán, Kenderes Anett, Kovács 599 Bálint, Rimóczi Alma, Semegi Judit, Somogyi Zoltán, Sziegl Benedek, Szűcs Dorina, Szvetnik Ákos, Tekeli Miklós, Telek Máté László, Tóth Zsófia, Zhorela Viktor.
3 points:2 students.
2 points:2 students.
0 point:4 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, March 2014

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley