Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 1223. (March 2014)

C. 1223. The lateral faces of a regular four-sided pyramid are equilateral triangles. What is the angle enclosed by adjacent lateral faces?

(5 pont)

Deadline expired on April 10, 2014.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a gúla minden éle \(\displaystyle a\) hosszúságú. Tekintsük az \(\displaystyle ABE\) és a \(\displaystyle CBE\) lapot, az \(\displaystyle EB\) él felezőpontja legyen \(\displaystyle F\). Mivel \(\displaystyle AF\perp EB\) és \(\displaystyle CF\perp EB\), ezért a két lap hajlásszöge az \(\displaystyle AFC\angle\), melyet jelöljön \(\displaystyle \alpha\).

Tekintsük az \(\displaystyle AFC\) háromszöget. Mivel \(\displaystyle AC\) az alaplap átlója, ezért hossza \(\displaystyle \sqrt2a\). A másik két oldal pedig az \(\displaystyle a\) oldalú szabályos háromszög magassága, ezért mindkettő \(\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}a\) hosszú.

Írjuk fel az \(\displaystyle AFC\) háromszögben a koszinusz-tételt:

\(\displaystyle (\sqrt2a)^2=\left(\frac{\sqrt3}{2}a\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}a\right)^2 -2\cdot\frac{\sqrt3}{2}a\cdot\frac{\sqrt3}{2}a\cdot\cos\alpha,\)

mindkét oldalt osztva \(\displaystyle a^2\neq0\)-val majd rendezve:

\(\displaystyle 2=\frac34+\frac34-\frac32\cos\alpha,\)

\(\displaystyle \frac12=-\frac32\cos\alpha,\)

\(\displaystyle \cos\alpha=-\frac13,\)

amiből, mivel \(\displaystyle 0<\alpha<180^{\circ}\):

\(\displaystyle \alpha\approx109,47^{\circ}.\)

Tehát a gúla két szomszédos oldallapjának hajlásszöge \(\displaystyle \approx109,47^{\circ}\).


Statistics:

41 students sent a solution.
5 points:Bajnok Anna, Beke 997 Tamás, Bereczki Zoltán, Bögös Dániel, Chourfi Abdel Karim, Demeter Dániel, Denke Dorottya, Dombrovszky Borbála, Farkas Dóra, Gnandt Balázs, Jójárt Alexandra, Kranczler Dóra, Paulovics Zoltán, Szabó 157 Dániel, Szabó 524 Tímea, Temesvári Fanni, Zsiros Ádám.
4 points:Fényes Balázs, Ficsor Enikő, Hegel Patrik, Hegyi Zoltán, Kenderes Anett, Kovács 599 Bálint, Rimóczi Alma, Semegi Judit, Somogyi Zoltán, Sziegl Benedek, Szűcs Dorina, Szvetnik Ákos, Tekeli Miklós, Telek Máté László, Tóth Zsófia, Zhorela Viktor.
3 points:2 students.
2 points:2 students.
0 point:4 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2014