KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1224. The integer that consists of \(\displaystyle m\) digits of 9 and the integer that consists of \(\displaystyle n\) digits of 9 are multiplied together. What is the sum of the digits of the product?

(5 points)

This problem is for grade 1 - 10 students only.

Deadline expired on 12 May 2014.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Ha \(\displaystyle m=n\), akkor a két szám szorzata \(\displaystyle (10^m-1)(10^m-1)=10^{2m}-2\cdot10^m+1\).

A \(\displaystyle 10^{2m}\) szám végén \(\displaystyle 2m\) darab 0 áll, a \(\displaystyle 2\cdot10^m\) végén pedig \(\displaystyle m\) darab, így kivonva őket egymásból:

A különbségben elöl \(\displaystyle m-1\) darab 9-es áll, utána egy 8-as, a végén pedig \(\displaystyle m\) darab 0, így ehhez még 1-et adva a számjegyek összege \(\displaystyle 9(m-1)+8+1=9m\).

Ha \(\displaystyle m\neq n\), akkor legyen pl. \(\displaystyle m<n\). Ekkor \(\displaystyle (10^m-1)(10^n-1)=10^{m+n}-10^m-10^n+1\).

Ekkor tekintsük azt a kivonást, melyben \(\displaystyle 10^{m+n}\)-ből kivonjuk \(\displaystyle 10^m+10^n\)-t. Ez utóbbi szám úgy néz ki, hogy a szám végén áll \(\displaystyle m\) darab 0, előtte egy 1-es, azelőtt pedig \(\displaystyle n-1-m\) darab 0, és a szám elején megint 1-es. \(\displaystyle 10^{m+n}\) pedig gy 1-es és utána \(\displaystyle m+n\) darab 0. Ezek különbsége:

A szám végén áll \(\displaystyle m\) darab 0, előtte \(\displaystyle n-m\) darab 9-es, azelőtt egy 8-as, azelőtt pedig \(\displaystyle m+n-1-n=m-1\) darab 9-es számjegy. Ehhez 1-et hozzáadva a számjegyek összege \(\displaystyle 9\cdot(m-1+n-m)+8+1=9n\).


Statistics on problem C. 1224.
87 students sent a solution.
5 points:Balázs Ákos Miklós, Borbényi Márton, Brányi Balázs, Döbröntei Dávid Bence, Erdődi Ádám Károly, Gáspár Attila, Horváth 016 Gábor, Kerekes Anna, Kis 913 Levente, Klász Viktória, Kovács 526 Tamás, Mándoki László, Mihálykó Péter, Molnár-Sáska Zoltán, Novák Márk, Papp 535 Ágnes, Polgár Márton, Radnai Bálint, Sándor Gergely, Solti Emese, Somogyi Pál, Szécsi Adél Lilla, Török Réka , Uzonyi 000 Ákos, Varsányi András, Zsakó Ágnes.
4 points:Árvai Balázs, Bereczki Ádám, Jób Csongor, Knoch Júlia, Kocsis Júlia, Kormányos Hanna Rebeka, Kovács 162 Viktória, Kovács Péter Tamás, Marticsek Réka, Matusek Márton, Pap-Takács Mónika, Sebastian Fodor, Szécsényi Nándor, Széles Katalin, Szücs Patrícia, Vass Máté.
3 points:17 students.
2 points:11 students.
1 point:5 students.
0 point:6 students.
Unfair, not evaluated:5 solutions.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, April 2014

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley