 |
A C. 1224. feladat (2014. április) |
C. 1224. Összeszoroztunk két csupa 9-esekből álló egész számot, egy \(\displaystyle m\) és egy \(\displaystyle n\) jegyűt. Mennyi a szorzat számjegyeinek összege?
(5 pont)
A beküldési határidő 2014. május 12-én LEJÁRT.
Megoldás. Ha \(\displaystyle m=n\), akkor a két szám szorzata \(\displaystyle (10^m-1)(10^m-1)=10^{2m}-2\cdot10^m+1\).
A \(\displaystyle 10^{2m}\) szám végén \(\displaystyle 2m\) darab 0 áll, a \(\displaystyle 2\cdot10^m\) végén pedig \(\displaystyle m\) darab, így kivonva őket egymásból:
A különbségben elöl \(\displaystyle m-1\) darab 9-es áll, utána egy 8-as, a végén pedig \(\displaystyle m\) darab 0, így ehhez még 1-et adva a számjegyek összege \(\displaystyle 9(m-1)+8+1=9m\).
Ha \(\displaystyle m\neq n\), akkor legyen pl. \(\displaystyle m<n\). Ekkor \(\displaystyle (10^m-1)(10^n-1)=10^{m+n}-10^m-10^n+1\).
Ekkor tekintsük azt a kivonást, melyben \(\displaystyle 10^{m+n}\)-ből kivonjuk \(\displaystyle 10^m+10^n\)-t. Ez utóbbi szám úgy néz ki, hogy a szám végén áll \(\displaystyle m\) darab 0, előtte egy 1-es, azelőtt pedig \(\displaystyle n-1-m\) darab 0, és a szám elején megint 1-es. \(\displaystyle 10^{m+n}\) pedig gy 1-es és utána \(\displaystyle m+n\) darab 0. Ezek különbsége:
A szám végén áll \(\displaystyle m\) darab 0, előtte \(\displaystyle n-m\) darab 9-es, azelőtt egy 8-as, azelőtt pedig \(\displaystyle m+n-1-n=m-1\) darab 9-es számjegy. Ehhez 1-et hozzáadva a számjegyek összege \(\displaystyle 9\cdot(m-1+n-m)+8+1=9n\).
Statisztika:
86 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Balázs Ákos Miklós, Borbényi Márton, Brányi Balázs, Döbröntei Dávid Bence, Erdődi Ádám Károly, Gáspár Attila, Horváth 016 Gábor, Kerekes Anna, Kis 913 Levente, Klász Viktória, Kovács 526 Tamás, Mándoki László, Mihálykó Péter, Molnár-Sáska Zoltán, Novák Márk, Papp 535 Ágnes, Polgár Márton, Radnai Bálint, Sándor Gergely, Solti Emese, Somogyi Pál, Szécsi Adél Lilla, Török Réka , Uzonyi 000 Ákos, Varsányi András, Zsakó Ágnes. 4 pontot kapott: Árvai Balázs, Bereczki Ádám, Jób Csongor, Knoch Júlia, Kocsis Júlia, Kormányos Hanna Rebeka, Kovács 162 Viktória, Kovács Péter Tamás, Marticsek Réka, Matusek Márton, Pap-Takács Mónika, Sebastian Fodor, Szécsényi Nándor, Széles Katalin, Szücs Patrícia, Vass Máté. 3 pontot kapott: 17 versenyző. 2 pontot kapott: 11 versenyző. 1 pontot kapott: 5 versenyző. 0 pontot kapott: 6 versenyző. Nem versenyszerű: 5 dolgozat.
A KöMaL 2014. áprilisi matematika feladatai