Problem C. 1225. (April 2014)

C. 1225. What is the perimeter of the isosceles triangle that has a base of 6 cm and an inradius of 1.5 cm?

(5 pont)

Deadline expired on May 12, 2014.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A háromszög magasságát jelölje \(\displaystyle m\), szárait \(\displaystyle a\), beírt körének sugarát \(\displaystyle r\), kerületét \(\displaystyle k\). Mivel a háromszög egyenlő szárú, így a magasssága egyben szimmetriatengely is, tehát két egybevágó derékszögű háromszögre osztja a háromszöget. Írjuk fel az egyikre a Pitagorasz tételt: \(\displaystyle 3^2+m^2=a^2\), amiből \(\displaystyle a=\sqrt{9+m^2}\).

A háromszög területének kétszeresét kétféleképpen felírva:

\(\displaystyle r\cdot k=6\cdot m,\)

\(\displaystyle 1,5\cdot(6+2\sqrt{9+m^2})=6m,\)

amit rendezve, majd négyzetre emelve:

\(\displaystyle 3\sqrt{9+m^2}=6m-9,\)

\(\displaystyle 9(9+m^2)=36m^2+81-108m,\)

amiből

\(\displaystyle 0=27m^2-108m=27m(m-4).\)

Ennek egyetlen pozitív megoldása \(\displaystyle m=4\), ami az eredeti egyenletet is kielégíti. Ekkor pedig \(\displaystyle k=6+2\sqrt{9+4^2}=6+2\cdot5=16\).

Statistics:

98 students sent a solution.
5 points:	69 students.
4 points:	17 students.
3 points:	7 students.
2 points:	1 student.
1 point:	1 student.
0 point:	2 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2014