KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1225. (April 2014)

C. 1225. What is the perimeter of the isosceles triangle that has a base of 6 cm and an inradius of 1.5 cm?

(5 pont)

Deadline expired on 12 May 2014.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A háromszög magasságát jelölje \(\displaystyle m\), szárait \(\displaystyle a\), beírt körének sugarát \(\displaystyle r\), kerületét \(\displaystyle k\). Mivel a háromszög egyenlő szárú, így a magasssága egyben szimmetriatengely is, tehát két egybevágó derékszögű háromszögre osztja a háromszöget. Írjuk fel az egyikre a Pitagorasz tételt: \(\displaystyle 3^2+m^2=a^2\), amiből \(\displaystyle a=\sqrt{9+m^2}\).

A háromszög területének kétszeresét kétféleképpen felírva:

\(\displaystyle r\cdot k=6\cdot m,\)

\(\displaystyle 1,5\cdot(6+2\sqrt{9+m^2})=6m,\)

amit rendezve, majd négyzetre emelve:

\(\displaystyle 3\sqrt{9+m^2}=6m-9,\)

\(\displaystyle 9(9+m^2)=36m^2+81-108m,\)

amiből

\(\displaystyle 0=27m^2-108m=27m(m-4).\)

Ennek egyetlen pozitív megoldása \(\displaystyle m=4\), ami az eredeti egyenletet is kielégíti. Ekkor pedig \(\displaystyle k=6+2\sqrt{9+4^2}=6+2\cdot5=16\).


Statistics:

98 students sent a solution.
5 points:69 students.
4 points:17 students.
3 points:7 students.
2 points:1 student.
1 point:1 student.
0 point:2 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley