KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1226. (April 2014)

C. 1226. Solve the following equation on the set of pairs of integers: \(\displaystyle x^2-3y^2+2xy-2x-10y+20=0\).

(5 pont)

Deadline expired on 12 May 2014.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az egyenlet \(\displaystyle x\)-re másodfokú:

\(\displaystyle x^2+(2y-2)x+(-3y^2-10y+20)=0.\)

Ebből

\(\displaystyle x=\frac{-2y+2\pm\sqrt{4y^2+4-8y+12y^2+40y-80}}{2}=\)

\(\displaystyle -y+1\pm\sqrt{4y^2+8y-19}=-y+1\pm\sqrt{(2y+2)^2-23}.\)

A négyzetszámok sorozatát egy darabig felírva: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144. Mivel a két utolsó tag között 23 a különbség, ezért a sorozat további része már nem érdekes. Megvizsgálva, ebben a részben semelyik másik két tag között nem lesz 23 a különbség. Az egyetlen megoldás tehát a \(\displaystyle (2y+2)^2=144\), ekkor \(\displaystyle 2y+2=\pm12\). Ebből \(\displaystyle y=5\) vagy \(\displaystyle y=-7\) következik. Az első esetben \(\displaystyle x=-4\pm11\), vagyis \(\displaystyle x=7\) vagy \(\displaystyle x=-15\). A második esetben pedig \(\displaystyle x=8\pm11\), vagyis \(\displaystyle x=19\) vagy \(\displaystyle x=-3\).

A megoldások: \(\displaystyle x_1=7\), \(\displaystyle y_1=5\); \(\displaystyle x_2=-15\), \(\displaystyle y_2=5\); \(\displaystyle =x_3=19\), \(\displaystyle y_3=-7\); \(\displaystyle x_4=-3\), \(\displaystyle y_4=-7\).


Statistics:

87 students sent a solution.
5 points:68 students.
4 points:5 students.
3 points:4 students.
2 points:4 students.
1 point:2 students.
0 point:2 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley