Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem C. 1226. (April 2014)

C. 1226. Solve the following equation on the set of pairs of integers: \(\displaystyle x^2-3y^2+2xy-2x-10y+20=0\).

(5 pont)

Deadline expired on May 12, 2014.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az egyenlet \(\displaystyle x\)-re másodfokú:

\(\displaystyle x^2+(2y-2)x+(-3y^2-10y+20)=0.\)

Ebből

\(\displaystyle x=\frac{-2y+2\pm\sqrt{4y^2+4-8y+12y^2+40y-80}}{2}=\)

\(\displaystyle -y+1\pm\sqrt{4y^2+8y-19}=-y+1\pm\sqrt{(2y+2)^2-23}.\)

A négyzetszámok sorozatát egy darabig felírva: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144. Mivel a két utolsó tag között 23 a különbség, ezért a sorozat további része már nem érdekes. Megvizsgálva, ebben a részben semelyik másik két tag között nem lesz 23 a különbség. Az egyetlen megoldás tehát a \(\displaystyle (2y+2)^2=144\), ekkor \(\displaystyle 2y+2=\pm12\). Ebből \(\displaystyle y=5\) vagy \(\displaystyle y=-7\) következik. Az első esetben \(\displaystyle x=-4\pm11\), vagyis \(\displaystyle x=7\) vagy \(\displaystyle x=-15\). A második esetben pedig \(\displaystyle x=8\pm11\), vagyis \(\displaystyle x=19\) vagy \(\displaystyle x=-3\).

A megoldások: \(\displaystyle x_1=7\), \(\displaystyle y_1=5\); \(\displaystyle x_2=-15\), \(\displaystyle y_2=5\); \(\displaystyle =x_3=19\), \(\displaystyle y_3=-7\); \(\displaystyle x_4=-3\), \(\displaystyle y_4=-7\).


Statistics:

87 students sent a solution.
5 points:68 students.
4 points:5 students.
3 points:4 students.
2 points:4 students.
1 point:2 students.
0 point:2 students.
Unfair, not evaluated:2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2014