A C. 1226. feladat (2014. április)

C. 1226. Oldjuk meg a következő egyenletet az egész számpárok halmazán:

\(\displaystyle x^2-3y^2+2xy-2x-10y+20=0. \)

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. május 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Az egyenlet \(\displaystyle x\)-re másodfokú:

\(\displaystyle x^2+(2y-2)x+(-3y^2-10y+20)=0.\)

Ebből

\(\displaystyle x=\frac{-2y+2\pm\sqrt{4y^2+4-8y+12y^2+40y-80}}{2}=\)

\(\displaystyle -y+1\pm\sqrt{4y^2+8y-19}=-y+1\pm\sqrt{(2y+2)^2-23}.\)

A négyzetszámok sorozatát egy darabig felírva: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144. Mivel a két utolsó tag között 23 a különbség, ezért a sorozat további része már nem érdekes. Megvizsgálva, ebben a részben semelyik másik két tag között nem lesz 23 a különbség. Az egyetlen megoldás tehát a \(\displaystyle (2y+2)^2=144\), ekkor \(\displaystyle 2y+2=\pm12\). Ebből \(\displaystyle y=5\) vagy \(\displaystyle y=-7\) következik. Az első esetben \(\displaystyle x=-4\pm11\), vagyis \(\displaystyle x=7\) vagy \(\displaystyle x=-15\). A második esetben pedig \(\displaystyle x=8\pm11\), vagyis \(\displaystyle x=19\) vagy \(\displaystyle x=-3\).

A megoldások: \(\displaystyle x_1=7\), \(\displaystyle y_1=5\); \(\displaystyle x_2=-15\), \(\displaystyle y_2=5\); \(\displaystyle =x_3=19\), \(\displaystyle y_3=-7\); \(\displaystyle x_4=-3\), \(\displaystyle y_4=-7\).

Statisztika:

87 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	68 versenyző.
4 pontot kapott:	5 versenyző.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2014. áprilisi matematika feladatai