A C. 1227. feladat (2014. április)

C. 1227. Egy trapéz alapjainak hossza 7, illetve 1. Az alapokkal párhuzamos egyenessel két egyenlő területű részre vágtuk a trapézt. Mekkora darabja esik az egyenesnek a trapéz belsejébe?

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. május 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen az \(\displaystyle ABCD\) trapézban \(\displaystyle CD=1\), \(\displaystyle AB=7\), a keresett egyenesnek a trapézba eső szakasza \(\displaystyle MN\), hossza \(\displaystyle x\). Az \(\displaystyle AD\) és \(\displaystyle BC\) egyenes metszéspontját jelölje \(\displaystyle O\). Az \(\displaystyle ODC\), az \(\displaystyle OMN\) és az \(\displaystyle OAB\) háromszög magassága legyen rendre \(\displaystyle m\), \(\displaystyle m_1\) és \(\displaystyle m_2\).

\(\displaystyle DC||MN\), így az \(\displaystyle ODC\) és az \(\displaystyle OMN\) háromszögek hasonlók, így megfelelő szakaszaik aránya megegyezik: \(\displaystyle \frac 1x=\frac{m}{m_1}\), amiből \(\displaystyle m_1=mx\).

Ugyanígy az \(\displaystyle ODC\) és az \(\displaystyle OAB\) háromszögek is hasonlóak, és így \(\displaystyle \frac17=\frac{m}{m_2}\), amiből \(\displaystyle m_2=7m\).

A \(\displaystyle DMNC\) trapéz magassága \(\displaystyle m_1-m=mx-m=m(x-1)\), míg az \(\displaystyle ABCD\) trapéz magassága \(\displaystyle m_2-m=7m-m=6m\). Az előbbi területe fele az utóbbinak:

\(\displaystyle 2\cdot\frac{(1+x)m(x-1)}{2}=\frac{(1+7)\cdot6m}{2},\)

\(\displaystyle m>0\)-val osztva és rendezve:

\(\displaystyle (1+x)(x-1)=24,\)

\(\displaystyle x^2=25,\)

és innen \(\displaystyle x>0\) miatt \(\displaystyle x=5\) következik.

Statisztika:

114 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	100 versenyző.
4 pontot kapott:	4 versenyző.
3 pontot kapott:	8 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2014. áprilisi matematika feladatai