KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1231. Consider those \(\displaystyle n\)-digit natural numbers that have no digits different from 1 and 2. Prove that there is a number among them that is divisible by \(\displaystyle 2^n\).

(5 points)

This problem is for grade 1 - 10 students only.

Deadline expired on 10 June 2014.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Vizsgáljunk meg néhány esetet. Ha \(\displaystyle n=1\), akkor 2|2. Ha \(\displaystyle n=2\), akkor \(\displaystyle 4|12=4\cdot3\). Ha \(\displaystyle n=3\), akkor \(\displaystyle 8|112=8\cdot14\). Ha \(\displaystyle n=4\), akkor \(\displaystyle 16|2112=16\cdot132\). Megfigyelhető, hogy mindig az előző szám elé került egy 1-es vagy egy 2-es. Bizonyítsuk az állítást teljes indukcióval. \(\displaystyle n=1\)-re már láttuk, hogy igaz. Tegyük fel, hogy az állítás igaz \(\displaystyle n=k\)-ra, vagyis \(\displaystyle 2^k|m\), ahol \(\displaystyle m\) egy \(\displaystyle k\)-jegyű, csupa 1-esből és 2-esből álló szám. Ekkor \(\displaystyle m\) maradéka \(\displaystyle 2^{k+1}\)-gyel osztva vagy 0, vagy \(\displaystyle 2^k\). Ha 0, akkor a szám elé egy 2-est írva, azt \(\displaystyle 2\cdot10^k\)-nal növeljük. Mivel \(\displaystyle 2\cdot10^k=2\cdot2^k\cdot5^k=2^{k+1}\cdot5^k\), így \(\displaystyle m\)-et egy \(\displaystyle 2^{k+1}\)-nel osztható számmal növeljük, így a kapott szám is osztható lesz \(\displaystyle 2^{k+1}\)-nel. Ha pedig \(\displaystyle m\) maradéka \(\displaystyle 2^{k+1}\)-gyel osztva \(\displaystyle 2^k\), akkor az \(\displaystyle m\) szám elé egy 1-est írva, azt \(\displaystyle 10^k\)-nal növeljük meg. Mivel \(\displaystyle 10^k=2^k\cdot5^k\), és \(\displaystyle 5^k=2s+1\), ahol \(\displaystyle s\) pozitív egész szám, így \(\displaystyle 10^k=2^k\cdot(2s+1)=2^{k+1}\cdot s+2^k\), vagyis \(\displaystyle 10^k\) szintén \(\displaystyle 2^k\)-t ad maradékul \(\displaystyle 2^{k+1}\)-nel osztva, így a kapott \(\displaystyle k+1\)-jegyű szám maradéka \(\displaystyle 2^{k+1}\)-nel osztva \(\displaystyle 2^k+2^k=2^{k+1}\), vagyis a szám osztható \(\displaystyle 2^{k+1}\)-nel. Tehát az állítás igaz \(\displaystyle n=k+1\)-re, a bizonyítást befejeztük.


Statistics on problem C. 1231.
51 students sent a solution.
5 points:Árvai Balázs, Balázs Ákos Miklós, Bottlik Judit, Döbröntei Dávid Bence, Gáspár Attila, Horváth 016 Gábor, Kasó Ferenc, Kerekes Anna, Klász Viktória, Kovács 162 Viktória, Kovács 246 Benedek, Kovács Péter Tamás, Matusek Márton, Mihálykó Péter, Molnár-Sáska Zoltán, Németh 123 Balázs, Pap-Takács Mónika, Polgár Márton, Radnai Bálint, Ratkovics Gábor, Regős Krisztina, Sebastian Fodor, Somlyay Anna, Szécsényi Nándor, Szécsi Adél Lilla, Széles Katalin, Tompa Tamás Lajos, Várkonyi Dorka, Zsakó Ágnes.
4 points:Bekő Zsófia, Knoch Júlia, Mátyus Adrienn, Somogyi Pál, Szemerédi Levente, Uzonyi 000 Ákos, Varsányi András.
3 points:5 students.
2 points:3 students.
1 point:3 students.
0 point:3 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, May 2014

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley