KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1232. In a triangle, the median drawn to side \(\displaystyle b\) is twice as long as the median drawn to side \(\displaystyle c\), and the two medians are perpendicular. Given that the length of the median drawn to side \(\displaystyle a\) is 60 cm, find the perimeter of the triangle.

(5 points)

This problem is for grade 1 - 10 students only.

Deadline expired on 10 June 2014.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Használjuk a szokásos jelöléseket. Legyen az \(\displaystyle F_CS\) szakasz hossza \(\displaystyle x\). Ekkor \(\displaystyle SC=2x\), \(\displaystyle SF_B=2x\) és \(\displaystyle SB=4x\). Mivel az \(\displaystyle SCB\) háromszög derékszögű, felírhatjuk rá a Pitagorasz-tételt: \(\displaystyle (2x)^2+(4x)^2=a^2\), amiből \(\displaystyle a=2\sqrt5x\), és innen \(\displaystyle BF_A=\sqrt5x\).

Az \(\displaystyle F_CSB\) derékszögű háromszögre felírva a Pitagorasz-tételt: \(\displaystyle F_CB^2=x^2+(4x)^2=17x^2\), amiből \(\displaystyle F_CB=\sqrt{17}x\), és így \(\displaystyle c=2\sqrt{17}x\).

Az \(\displaystyle SCF_B\) derékszögű háromszögre felírva a Pitagorasz-tételt: \(\displaystyle F_BC^2=(2x)^2+(2x)^2=8x^2\), amiből \(\displaystyle F_BC=\sqrt{8}x\), és így \(\displaystyle b=2\sqrt{8}x\).

Tudjuk, hogy \(\displaystyle AF_A=60\), aminek \(\displaystyle SF_A\) a harmada, vagyis \(\displaystyle SF_A=20\). A Thalesz-tétel megfordítása miatt \(\displaystyle SF_A=BF_A\), vagyis \(\displaystyle 20=\sqrt5x\), amiből \(\displaystyle x=4\sqrt5\).

A kerület tehát:

\(\displaystyle k=2\sqrt5\cdot4\sqrt5+2\sqrt{17}\cdot4\sqrt5+2\sqrt8\cdot4\sqrt5\approx164,35~{\rm(cm)}.\)


Statistics on problem C. 1232.
64 students sent a solution.
5 points:55 students.
4 points:4 students.
3 points:4 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, May 2014

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley