Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem C. 1232. (May 2014)

C. 1232. In a triangle, the median drawn to side \(\displaystyle b\) is twice as long as the median drawn to side \(\displaystyle c\), and the two medians are perpendicular. Given that the length of the median drawn to side \(\displaystyle a\) is 60 cm, find the perimeter of the triangle.

(5 pont)

Deadline expired on June 10, 2014.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Használjuk a szokásos jelöléseket. Legyen az \(\displaystyle F_CS\) szakasz hossza \(\displaystyle x\). Ekkor \(\displaystyle SC=2x\), \(\displaystyle SF_B=2x\) és \(\displaystyle SB=4x\). Mivel az \(\displaystyle SCB\) háromszög derékszögű, felírhatjuk rá a Pitagorasz-tételt: \(\displaystyle (2x)^2+(4x)^2=a^2\), amiből \(\displaystyle a=2\sqrt5x\), és innen \(\displaystyle BF_A=\sqrt5x\).

Az \(\displaystyle F_CSB\) derékszögű háromszögre felírva a Pitagorasz-tételt: \(\displaystyle F_CB^2=x^2+(4x)^2=17x^2\), amiből \(\displaystyle F_CB=\sqrt{17}x\), és így \(\displaystyle c=2\sqrt{17}x\).

Az \(\displaystyle SCF_B\) derékszögű háromszögre felírva a Pitagorasz-tételt: \(\displaystyle F_BC^2=(2x)^2+(2x)^2=8x^2\), amiből \(\displaystyle F_BC=\sqrt{8}x\), és így \(\displaystyle b=2\sqrt{8}x\).

Tudjuk, hogy \(\displaystyle AF_A=60\), aminek \(\displaystyle SF_A\) a harmada, vagyis \(\displaystyle SF_A=20\). A Thalesz-tétel megfordítása miatt \(\displaystyle SF_A=BF_A\), vagyis \(\displaystyle 20=\sqrt5x\), amiből \(\displaystyle x=4\sqrt5\).

A kerület tehát:

\(\displaystyle k=2\sqrt5\cdot4\sqrt5+2\sqrt{17}\cdot4\sqrt5+2\sqrt8\cdot4\sqrt5\approx164,35~{\rm(cm)}.\)


Statistics:

64 students sent a solution.
5 points:55 students.
4 points:4 students.
3 points:4 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2014