Problem C. 1237. (May 2014)

C. 1237. A 45-decagram loaf of bread is cut in three parts. The difference between the largest and smallest pieces is 5 decagrams. What may be the masses of the pieces if the standard deviation of the masses is \(\displaystyle \sqrt{\frac{14}{3}}\) decagrams?

(5 pont)

Deadline expired on June 10, 2014.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a legkisebb darab tömege \(\displaystyle a\), a középsőé \(\displaystyle b\) (a dkg-ot nem írjuk ki, odaértjük mindenhová). A legnagyobb tömeg ekkor \(\displaystyle a+5\). Tudjuk, hogy \(\displaystyle a+b+(a+5)=45\), amiből \(\displaystyle 2a+b=40\), vagyis \(\displaystyle b=40-2a\). Mivel az átlag \(\displaystyle M=\frac{45}{3}=15\), így a szórás

\(\displaystyle s=\sqrt{\frac{(15-a)^2+(15-(40-2a))^2+(15-(a+5))^2}{3}}=\sqrt{\frac{14}{3}},\)

amit négyzetre emelve és 3-mal szorozva:

\(\displaystyle (15-a)^2+(2a-25)^2+(10-a)^2=14.\)

A zárójeleket felbontva és rendezve a következő másodfokú egyenletet kapjuk:

\(\displaystyle a^2-25a+156,\)

ebből

\(\displaystyle a=\frac{25\pm1}{2}.\)

A megoldások: \(\displaystyle a_1=13\), \(\displaystyle b_1=14\) és \(\displaystyle c_1=18\), illetve \(\displaystyle a_2=12\), \(\displaystyle b_2=16\), \(\displaystyle c_2=17\).

Statistics:

24 students sent a solution.
5 points:	Bereczki Zoltán, Chourfi Abdel Karim, Demeter Dániel, Denke Dorottya, Erdei Ákos, Farkas Dóra, Fényes Balázs, Fülöp Erik, Gnandt Balázs, Hegel Patrik, Hegyi Zoltán, Jójárt Alexandra, Kenderes Anett, Krisztián Jonatán, Paulovics Zoltán, Porupsánszki István, Rimóczi Alma, Szabó 157 Dániel, Szabó 524 Tímea, Sziegl Benedek, Szűcs Dorina, Temesvári Fanni.
4 points:	Nagy Dávid.
3 points:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2014