A C. 1248. feladat (2014. október)

C. 1248. Határozzuk meg az összes \(\displaystyle \overline{abc}\) háromjegyű számot, melyre \(\displaystyle \overline{abc}= a!+b!+c!\), ahol \(\displaystyle n!\) jelöli 1-től \(\displaystyle n\)-ig a pozitív egész számok szorzatát.

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha 1-től 7-ig összeszorozzuk az egész számokat, akkor 5040-et kapunk, így a keresett számjegyek között nem szerepelhet a 7, a 8 és a 9. Ha 1-től 6-ig szorozzuk össze a számokat, akkor 720-at kapunk. Ha a számjegyek között szerepelne a 6, akkor a keresett szám legalább 720 lenne, tehát szerepelne benne 7, 8 vagy 9. Ez viszont nem lehet, így 6 sem szerepelhet a számjegyek között. A legnagyobb számjegy tehát 5 lehet. Ha csak 5-nél kisebb számjegyekből állna a szám, akkor a legnagyobb értéke \(\displaystyle 24+24+24\) lehetne, ami nem éri el a 100-at, így legalább egy 5-ös van a számjegyek között. Ez az 5-ös nem állhat az első helyen, mert ha minden számjegy 5 lenne, akkor is csak \(\displaystyle 120+120+120=360\) lehetne a számunk, ami nem éri el az 500-at. Ha két 5-ös lenne a számban, akkor az első számjegy 2-es lenne (mert \(\displaystyle 120+120+1\) 200-nál több, de \(\displaystyle 120+120+24\) 300-nál kevesebb), tehát csak a 255 jöhetne szóba, azonban \(\displaystyle 2 + 120 + 120 = 242\), ez tehát nem jó. Tehát csak egy 5-ös lehet a számban, ekkor viszont 1-essel kell kezdődnie. Négy esetet kell tehát kipróbálnunk: ha a számjegyek 1, 1, 5; 1, 2, 5; 1, 3, 5; 1, 4, 5. A megfelelő összegek: \(\displaystyle 1+1+120=122\); \(\displaystyle 1+2+120=123\); \(\displaystyle 1+6+120=127\); \(\displaystyle 1+24+120=145\). Tehát az egyetlen megoldása a feladatnak a 145.

Statisztika:

271 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	138 versenyző.
4 pontot kapott:	64 versenyző.
3 pontot kapott:	25 versenyző.
2 pontot kapott:	23 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	8 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2014. októberi matematika feladatai