A C. 1255. feladat (2014. november)

C. 1255. Adjuk meg az \(\displaystyle \overline{abcd}\) négyjegyű számot, ha az \(\displaystyle n^4=\overline{a6b\;c4d\;641}\) egyenletben az \(\displaystyle n\) egy olyan pozitív egész szám, amelyben a számjegyek balról jobbra növekedve követik egymást.

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az \(\displaystyle n\) szám negyedik hatványa kilencjegyű szám, így \(\displaystyle 100^4\leq n^4 < 178^4\). Vagyis \(\displaystyle 100\leq n<178\). Azt is tudjuk, hogy a hatvány utolsó jegye 1, ezért \(\displaystyle n\) utolsó jegye 1, 3, 7 vagy 9 lehet. Az előző intervallum alapján ezek a háromjegyű számok jöhetnek szóba: 101, 103, 107, 109, 111, 113, 117, 119, 121, 123, 127, 129, 131, 133, 137, 139, 141, 143, 147, 149, 151, 153, 157, 159, 161, 163, 167, 169, 171, 173, 177.

Tovább csökken a lehetőségek száma, ha a számjegyek növekedését is figyelembe vesszük: 123, 127, 129, 137, 139, 147, 149, 157, 159, 167, 169. Ezt a néhány számot kell kipróbálnunk. Egyetlen megoldást találunk: \(\displaystyle 127^4=260 144 641\). A keresett négyjegyű szám: 2014.

Statisztika:

225 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	143 versenyző.
4 pontot kapott:	51 versenyző.
3 pontot kapott:	13 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	10 dolgozat.

A KöMaL 2014. novemberi matematika feladatai