A C. 1301. feladat (2015. szeptember)

C. 1301. Bizonyítsuk be, hogy ha \(\displaystyle x_1\) és \(\displaystyle x_2\) pozitív valós számok, akkor

\(\displaystyle (x_1+x_2+1) \left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+1\right)\ge 9. \)

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. október 12-én LEJÁRT.

Megoldás. A bal oldalon a szorzást elvégezve:

\(\displaystyle 1+\frac{x_1}{x_2}+x_1+\frac{x_2}{x_1}+1+x_2+\frac{1}{x_1} +\frac{1}{x_2}+1.\)

Vegyük észre, hogy ebben több \(\displaystyle A+\frac 1A\) alakú tag is van, csak nem feltétlenül egymás mellett. Csoportosítva a tagokat:

\(\displaystyle 1+\left(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}\right)+ \left(x_1+\frac{1}{x_1}\right)+1+\left(x_2+\frac{1}{x_2}\right)+1.\)

Mivel pozitív \(\displaystyle A\) szám esetén \(\displaystyle A+\frac 1A\ge2\), ezért nyilván

\(\displaystyle 1+\left(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}\right)+ \left(x_1+\frac{1}{x_1}\right)+1+\left(x_2+\frac{1}{x_2}\right)+1\ge1+2+2+1+2+1=9.\)

Statisztika:

197 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	168 versenyző.
4 pontot kapott:	11 versenyző.
3 pontot kapott:	6 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.

A KöMaL 2015. szeptemberi matematika feladatai