A C. 1312. feladat (2015. október)

C. 1312. Határozzuk meg \(\displaystyle x^2+y^2\) értékét, ha tudjuk, hogy \(\displaystyle xy+x+y=44\) és \(\displaystyle x^2y+xy^2=448\).

M&IQ

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Vegyük észre, hogy \(\displaystyle x^2y+xy^2=xy(x+y)\). Érdemes lehet új változókat bevezetni. Legyen \(\displaystyle a=xy\) és \(\displaystyle b=x+y\). Ekkor az egyenletek: \(\displaystyle a+b=44\) és \(\displaystyle ab=448\). Az elsőből \(\displaystyle ba=44-b\), amit a másodikba beírva azt kapjuk, hogy \(\displaystyle (44-b)b=448\). Ezt rendezve a \(\displaystyle b^2-44b+448=0\) másodfokú egyenletet kapjuk, melynek két megoldása \(\displaystyle b_{1,2}=\frac{44\pm12}{2}\), vagyis \(\displaystyle b_1=28\) és \(\displaystyle b_2=16\). Ebből \(\displaystyle a_1=44-b_1=16\) és \(\displaystyle a_2=44-b_2=28\).

Mivel \(\displaystyle x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=b^2-2a\), így \(\displaystyle x^2+y^2\) értéke \(\displaystyle 28^2-2\cdot16=752\) vagy \(\displaystyle 16^2-2\cdot28=200\).

Statisztika:

272 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	179 versenyző.
4 pontot kapott:	33 versenyző.
3 pontot kapott:	20 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	17 versenyző.
0 pontot kapott:	13 versenyző.
Nem versenyszerű:	6 dolgozat.

A KöMaL 2015. októberi matematika feladatai