A C. 1316. feladat (2015. november)

C. 1316. Egy teremben 3 oszlopban és 6 sorban - összesen 18 helyre - ül le 10 lány és 7 fiú. Hány különböző ülési rend lehetséges, ha egy oszlopba és egy sorba nem ülhet csupa fiú vagy csupa lány?

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az egyetlen üres helyet 18-féleképpen választhatjuk ki. Ebben a sorban akkor már csak 1 fiú és 1 lány ülhet, nyilván kétféleképpen.

Innentől kezdve az üres helyet és a sort tekintsük rögzítettnek (azt is, hogy melyik oszlopban ül a lány, és melyikben a fiú).

Marad 5 sor, ahová 9 lány ül le, mindegyikbe legfeljebb kettő. Ez azt jelenti, hogy 4 sorba kettő, 1-be pedig egy lány ül le. Ekkor egy sorban két fiú, a többiben pedig egy-egy fiú ül majd. Azt, hogy melyik sorba üljön 1 lány, 5-féleképp lehet megválasztani, és minden sorban 3 lehetőség van arra, hogy az egyedüli fiú / egyedüli lány hova üljön. Ez \(\displaystyle 5\cdot3^5\) lehetőség.

Beleszámoltuk azonban azokat az eseteket is, amikor van csupa fiú vagy csupa lány oszlop. (Csupa lány oszlop legfeljebb egy lehet.)

Csupa fiú oszlop lehet a rögzített fiú oszlopa, ekkor a maradék 1 fiú a maradék 10 hely bármelyikén ülhet. Hasonlóan 10 lehetőség van arra, hogy a csupa fiú oszlop az öt gyereket tartalmazó oszlop legyen. Ha a csupa lány oszlop a rögzített lány oszlopa, akkor a maradék négy lány kiválasztja, hogy az öt sor melyikébe ül le, és azt is, hogy ott melyik helyre, ez \(\displaystyle \binom54\cdot2^4=80\) lehetőség. Ugyanennyi lehetőség van akkor is, ha csupa lány oszlop a másik szóba jövő oszlop. Ez \(\displaystyle 20+2\cdot80=180\) eset lenne, azonban kétszer számoltuk azokat az eseteket, amikor van csupa lány és csupa fiú oszlop is. Erre \(\displaystyle 3\cdot5=15\) lehetőség van, mert a vegyes oszlop három helyen lehet, és mindhárom esetben egyértelmű, hogy a másik két oszlop közül melyik a fiú és melyik a lány, a maradék egy fiú pedig a vegyes oszlopban ül le valahová.

Figyelembe véve, hogy a fiúk 7!, a lányok pedig 10! féleképpen ülhetnek le a fiú-, illetve a lányhelyekre, a lehetőségek száma:

\(\displaystyle 7!\cdot10!\cdot18\cdot2\cdot(5\cdot3^5-180+15)=7!\cdot10!\cdot37800(=691\,329\,945\,600\,000).\)

Statisztika:

79 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Dávid Levente, Fekete Balázs Attila, Szalay Gergő, Szécsi Adél Lilla, Szilágyi Éva.
4 pontot kapott:	Édes Lili, Mályusz Attila, Marozsák Tóbiás , Mikulás Zsófia, Németh Csilla Márta, Póta Balázs, Varga 157 Kristóf, Weisz Máté, Zsombó István.
3 pontot kapott:	16 versenyző.
2 pontot kapott:	20 versenyző.
1 pontot kapott:	18 versenyző.
0 pontot kapott:	10 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2015. novemberi matematika feladatai