 |
A C. 1320. feladat (2015. november) |
C. 1320. Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán:
\(\displaystyle 4x^{2}y^{2}+z^{4}+\sqrt{3x^{2}y-6x^{2}}+16=7z^{2}+4xyz. \)
(5 pont)
A beküldési határidő 2015. december 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Alakítsuk át több lépésben az egyenletet:
\(\displaystyle 4x^{2}y^{2}+z^{4}+\sqrt{3x^{2}y-6x^{2}}+16-7z^{2}-4xyz=0,\)
\(\displaystyle 4x^{2}y^{2}+z^2-4xyz+z^{4}+16-8z^{2}+\sqrt{3x^{2}y-6x^{2}}=0,\)
\(\displaystyle (2xy-z)^2+(z^2-4)^2+\sqrt{3x^2y-6x^2}=0.\)
Mivel mindhárom tag nemnegatív, öszegük csak úgy lehet 0, ha külön-külön mindhárom az. Ekkor pedig
\(\displaystyle 2xy-z=0,\quad z^2-4=0,\quad 3x^2y-6x^2=0.\)
A második egyenletből \(\displaystyle z_1=2\) és \(\displaystyle z_2=-2\). Ebből \(\displaystyle 2xy=\pm2\). A harmadik egyenletből \(\displaystyle x^2(3y-6)=0\), vagyis \(\displaystyle x=0\) vagy \(\displaystyle y=2\) következik. Mivel \(\displaystyle x=0\) esetén \(\displaystyle 2xy=0\), ez nem megoldás. Tehát \(\displaystyle y=2\), és ebből \(\displaystyle x=\pm\frac12\).
A megoldások: \(\displaystyle x_1=\frac12\), \(\displaystyle y_1=2\), \(\displaystyle z_1=2\) és \(\displaystyle x_2=-\frac12\), \(\displaystyle y_2=2\), \(\displaystyle z_2=-2\).
Statisztika:
50 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bőzsöny András, Csapó Márton, Csider Márk, Csontos Imola, Csorba Benjámin, Dankowsky Anna Zóra, Földvári Benedek, Horeftos Leon, Horváth András János, Inges Zénó, Kasó Ferenc, Kiss Vivien Mercédesz, Kocsis Ábel, Kocsis Júlia, Kormányos Hanna Rebeka, Kósa Szilárd, Kovács Iván, Lévay Mátyás, M. Szűcs Péter, Matusek Márton, Mészáros 01 Viktória, Moldován Péter, Nagy 911 Viktória, Perger Kitti, Sallai Krisztina, Simon Ákos, Souly Alexandra, Szabó Alexandra, Szajkó Gréta, Szauer Marcell, Szegletes Zita, Székely Dalma, Szücs Patrícia, Tar Viktor, Tatai Mihály, Tóth Adrián, Ványi Virág. 4 pontot kapott: Kányádi Borbála, Pécz Bálint, Szalay Máté Csongor, Szécsényi Júlia. 3 pontot kapott: 3 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2015. novemberi matematika feladatai