 |
A C. 1322. feladat (2015. december) |
C. 1322. Melyik az a legnagyobb hétjegyű szám, amit úgy kapunk, hogy egy számtani sorozat három egymást követő, pozitív egész tagját közvetlenül egymás után írjuk?
Quantum, 1998
(5 pont)
A beküldési határidő 2016. január 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Egy számtani sorozat három tagját kell hét számjeggyel leírnunk. Négyjegyű szám mellé már nem választható háromjegyű szám. Mivel egy legalább négyjegyű és egy legfeljebb kétjegyű szám különbsége legalább \(\displaystyle 901\), így a legnagyobb tag legfeljebb háromjegyű lehet. Próbáljunk meg a szám elejére minél több \(\displaystyle 9\)-est írni. (A bizonyításban többször kihasználjuk majd, hogy minden tag legfeljebb háromjegyű.)
Nézzük meg, három \(\displaystyle 9\)-es állhat-e a szám elején. Ha az első szám a \(\displaystyle 999\), akkor utána kétjegyű-kétjegyű, vagy háromjegyű-egyjegyű állhat. A sorozat mindkét esetben csökkenő. Az első esetben a különbségek nem egyezhetnek meg (mert az első különbség háromjegyű, a második viszont nem). A második esetet vizsgálva, mivel a középső tag a két szélső számtani közepe, így a hétjegyű szám akkor lesz a legnagyobb, ha az egyjegyű tag, és így a középső is a lehető legnagyobb, vagyis az utolsó tag a \(\displaystyle 9\). Ekkor a középső tag \(\displaystyle \frac{999+9} 2=504\).
Ha az első szám a \(\displaystyle 99\), akkor utána csak kétjegyű-háromjegyű állhatna. Ez utóbbi miatt a sorozat növekvő, ám a második tag ekkor csak 99 lehet, ami ellentmondás.
Ha az első szám a \(\displaystyle 9\), akkor utána csak két háromjegyű állhat, melyekből az első \(\displaystyle 99\)-cel kezdődik. Mivel ekkor az első különbség legalább \(\displaystyle 990-9=981\), amivel a harmadik tag már (a legkisebb középső tag, vagyis \(\displaystyle 990\) esetén is) négyjegyű lenne, ezért ez az eset nem jöhet létre.
Így a legnagyobb hétjegyű szám, amit így létre lehet hozni a \(\displaystyle 9\,995\,049\).
Statisztika:
153 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 66 versenyző. 4 pontot kapott: 29 versenyző. 3 pontot kapott: 15 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 6 versenyző. 0 pontot kapott: 34 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat.
A KöMaL 2015. decemberi matematika feladatai