A C. 1323. feladat (2015. december)

C. 1323. Egy derékszögű háromszögben az \(\displaystyle A\) csúcsból induló szögfelező \(\displaystyle BC\) oldallal való metszéspontja legyen \(\displaystyle T\). A \(\displaystyle BC\) oldal felezőpontja \(\displaystyle F\), az \(\displaystyle F\)-ben állított felezőmerőleges metszéspontja a háromszög másik oldalával \(\displaystyle M\). Mekkorák a háromszög szögei, ha tudjuk, hogy \(\displaystyle ATFM\) deltoid? (Az \(\displaystyle A\) a háromszög bármely csúcsát jelölheti.)

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. január 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Két eset van: ha az \(\displaystyle A\) pont az egyik hegyesszögű csúcs, vagy ha az \(\displaystyle A\) pont a háromszög derékszögű csúcsa.

Az első esetben az \(\displaystyle A\) csúcsnál lévő hegyesszög legyen \(\displaystyle \alpha \) (1. ábra).

1. ábra

\(\displaystyle CMF\measuredangle=CAB\measuredangle=\alpha \), mert egyállású szögek, így \(\displaystyle AMF\measuredangle=180^{\circ}-\alpha \). \(\displaystyle BAT\measuredangle=\frac{\alpha } 2\), \(\displaystyle ATF\measuredangle=90^{\circ}+\frac{\alpha } 2\) , mert az \(\displaystyle ABT\Delta \) külső szöge. Annak a szükséges feltétele, hogy \(\displaystyle ATFM\) négyszög deltoid legyen: \(\displaystyle AMF\measuredangle=ATF\measuredangle\). \(\displaystyle 180^{\circ}-\alpha =90^{\circ}+\frac{\alpha } 2\) , amiből \(\displaystyle \alpha =60^{\circ}\).

Ahhoz azonban, hogy valóban deltoidot kapjunk, két szomszédos oldalnak meg kell egyeznie. Igaz-e, hogy \(\displaystyle AT=AM\)?

Legyen \(\displaystyle AB=1\) egység, ekkor \(\displaystyle AC=2\), \(\displaystyle AM=\frac{AC} 2=1\) . \(\displaystyle AT\) az \(\displaystyle ABT\Delta \) átfogója, így \(\displaystyle AB=1<AT\), vagyis \(\displaystyle AT>AM\), tehát az \(\displaystyle ATFM\) négyszög nem deltoid.

Második esetben legyen az \(\displaystyle A\) csúcsnál lévő szög \(\displaystyle \alpha =90^{\circ}\), a \(\displaystyle B\) csúcsnál lévő szög \(\displaystyle \beta \), a \(\displaystyle C\) csúcsnál lévő szög pedig \(\displaystyle \gamma \) (2. ábra). Ekkor \(\displaystyle BMF\measuredangle=90^{\circ}-\beta =\gamma \).

2. ábra

Ahhoz, hogy az \(\displaystyle ATFM\) négyszög deltoid legyen szükséges, hogy \(\displaystyle AMF\measuredangle=ATF\measuredangle\) teljesüljön. Ekkor ezek kiegészítő szögei is egyenlők: \(\displaystyle BMF\measuredangle=\gamma =ATC\measuredangle\), vagyis az \(\displaystyle ATC\Delta\) egyenlő szárú. Mivel \(\displaystyle CAT\measuredangle=45^{\circ}\), így \(\displaystyle \gamma =67,5^{\circ}\).

Ekkor valóban \(\displaystyle AMF\measuredangle=ATF\measuredangle\). A Thalész-tétel miatt az \(\displaystyle \mathit{AFC\Delta }\) is egyenlő szárú, így \(\displaystyle TAF\measuredangle=67,5^{\circ}-45^{\circ}=22,5^{\circ}\), \(\displaystyle FAM\measuredangle=90^{\circ}-67,5^{\circ}=22,5^{\circ}\), így \(\displaystyle \mathit{TAF}{\measuredangle}=\mathit{FAM}{\measuredangle}\).

Az \(\displaystyle \mathit{ATF\Delta }\) és az \(\displaystyle \mathit{AMF\Delta }\) egybevágó, mert egy oldaluk és két szögük megegyezik, vagyis az \(\displaystyle \mathit{ATFM}\) négyszög valóban deltoid.

Tehát a háromszög szögei \(\displaystyle 67,5{}^{\circ}\), \(\displaystyle 22,5\) és \(\displaystyle 90{}^{\circ}\).

Megjegyzés. 131 beküldött dolgozatból csak 8 db 5 pontos lett, ugyanis ritka kivételtől eltekintve senki sem vizsgálta, hogy az ATMF négyszög valóban deltoid-e.

Statisztika:

127 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Dávid Levente, Édes Lili, Fekete Balázs Attila, Fraknói Ádám, Jánosdeák Márk, Marozsák Tóbiás , Páhoki Tamás, Weisz Máté.
4 pontot kapott:	Balogh 999 Árpád Mátyás, Fazekas 15 Levente, Malák Péter, Máth Benedek, Pinke Andrea, Szilágyi Éva, Tóth 111 Máté , Tubak Dániel, Veres Bálint.
3 pontot kapott:	69 versenyző.
2 pontot kapott:	12 versenyző.
1 pontot kapott:	23 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.

A KöMaL 2015. decemberi matematika feladatai