A C. 1331. feladat (2016. január)

C. 1331. Peti a 13 éves születésnapi zsúrjára 13 barátját hívta meg. Mindegyiküktől 13 darab színes tömbgyertyát kapott, melyek 2,5 cm sugarú, 30 cm magasságú, szabályos henger alakúak. Hogy épségben megőrizhesse kincseit, elővesz egy \(\displaystyle \rm 50~cm \times 78~cm \times 31~cm\) nagyságú, téglatest alakú dobozt. Be tudja-e rakni Peti a gyertyákat a dobozba úgy, hogy azok ne sérüljenek, és egyik se lógjon ki a dobozból?

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A doboz magassága 31 cm. Helyezzük el a gyertyákat ,,állva" úgy, hogy az első sorban álló gyertyák érintkezzenek egymással és a doboz falával, a következő sorban állók pedig érintkezzenek két, előző sorban álló gyertyával (1. ábra, felülnézet).

1. ábra

Ekkor az első sorba álló gyertyák szimmetriatengelyei \(\displaystyle r\), a következő sorban állóké pedig \(\displaystyle r+m\) távolságra lesznek a doboz ,,felső" falától.

A szabályos háromszög magassága: \(\displaystyle m=2r\cdot\frac{\sqrt 3} 2=2,5\sqrt 3\,{\approx}\,4,33\).

Így \(\displaystyle n\) sor helyigénye:

\(\displaystyle h=2r+\left(n-1\right)\cdot m=5+\left(n-1\right)\cdot2,5\sqrt 3\,{\approx}\,5+\left(n-1\right)\cdot4,33. \)

Osszuk fel a dobozt két \(\displaystyle 50 \times 30 \times 31\) cm-es és egy \(\displaystyle 50 \times 18 \times 31\) cm-es részre (2. ábra).

2. ábra

Az első két \(\displaystyle 50 \times 30 \times 31\) cm-es részben helyezzük a gyertyákat ,,fekve", tengelyükkel az \(\displaystyle 50 \times 31\) cm-es oldallapra merőlegesen egymás mellé az 1. ábrának megfelelően.

Az alsó sorban 10 db, a felett lévőben 9 db gyertya fér el és így tovább: a páratlan sorszámú sorokban 10, a párosokban 9.

Ekkor \(\displaystyle h=31\mathrm{~cm}\geq5+\left(n-1\right)\cdot2,5\sqrt 3\), amiből \(\displaystyle n=7\).

Így \(\displaystyle 4\cdot 10+3\cdot 9=67\) db gyertyát tudunk elhelyezni az első és a második részben is.

A harmadik, \(\displaystyle 50 \times 18 \times 31\) cm-es részben helyezzük a gyertyákat állva, tengelyükkel az \(\displaystyle 50 \times 18\) cm-es oldallapra merőlegesen egymás mellé az 1. ábrának megfelelően.

Ekkor \(\displaystyle h=18\mathrm{~cm}=5+\left(n-1\right)\cdot2,5\sqrt 3\), amiből \(\displaystyle n=4\).

Így \(\displaystyle 2\cdot 10+2\cdot 9=38\) db gyertyát tudunk elhelyezni a harmadik részben.

Összesen: \(\displaystyle 2\cdot 67+38=172\) db gyertyát lehet elhelyezni, tehát ilyen módon a \(\displaystyle 169\) db gyertya elhelyezhető a dobozban. (Ha minden gyertyát állva helyeztünk volna el, akkor hasonló gondolatmenettel csak \(\displaystyle 9\cdot10+8\cdot9=162\) gyertyát tudnánk elhelyezni.)

Statisztika:

146 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	53 versenyző.
4 pontot kapott:	3 versenyző.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	46 versenyző.
0 pontot kapott:	38 versenyző.

A KöMaL 2016. januári matematika feladatai