 |
A C. 1334. feladat (2016. január) |
C. 1334. Bizonyítsuk be, hogy ha az \(\displaystyle ABCD\) húrnégyszög trapéz (ahol \(\displaystyle AB\parallel CD\)) vagy az \(\displaystyle AB\) oldala a köréírt kör átmérője, akkor teljesülnek a
\(\displaystyle BD\cdot x+AD\cdot \sqrt{1-x^2} = AC;\)
\(\displaystyle AC\cdot x+BC\cdot \sqrt{1-x^2} = BD\)
egyenletek valamely \(\displaystyle 0<x<1\) esetén.
(5 pont)
A beküldési határidő 2016. február 10-én LEJÁRT.
Megoldás 1. eset: Ha az \(\displaystyle {ABCD}\) húrnégyszög trapéz (1. ábra).
1. ábra
Ekkor a szimmetria miatt \(\displaystyle {AD}={BC}\) és \(\displaystyle {AC}={BD}\).
Így a két egyenlet megegyezik:
\(\displaystyle {AC}\cdot x+{BC}\cdot \sqrt{1-x^2}={AC}.\)
Rendezve:
\(\displaystyle {BC}\cdot \sqrt{\left(1-x\right)(1+x)}={AC}(1-x).\)
Egyszerűsítve \(\displaystyle \sqrt{1-x}{\neq}0\)-val:
\(\displaystyle {BC}\cdot \sqrt{(1+x)}={AC}\sqrt{1-x}.\)
Mindkét oldalt négyzetre emelve:
\(\displaystyle {BC}^2\cdot (1+x)={AC}^2\cdot (1-x).\)
A zárójeleket felbontva és \(\displaystyle x\)-t kifejezve:
\(\displaystyle \left({AC}^2+{BC}^2\right)\cdot x={AC}^2-{BC}^2,\)
\(\displaystyle x=\frac{{AC}^2-{BC}^2}{{AC}^2+{BC}^2}.\)
Mivel \(\displaystyle \beta >\alpha \), és ugyanazon körben nagyobb kerületi szöghöz nagyobb húr tartozik, ezért \(\displaystyle {AC}>{BC}\), valamint \(\displaystyle {AC}^2+{BC}^2>{AC}^2-{BC}^2\), tehát biztosan létezik \(\displaystyle x\), amire \(\displaystyle 0<x<1\).
2. eset: Ha az \(\displaystyle {ABCD}\) húrnégyszög \(\displaystyle {AB}\) oldala a köré írt kör átmérője (2. ábra).
2. ábra
Legyen \(\displaystyle x={\sin\delta }\), ahol \(\displaystyle 0<\delta <\frac{\pi } 2\), ekkor \(\displaystyle \sqrt{1-x^2}=\cos \delta \).
Az egyenletrendszer az új változókkal:
\(\displaystyle {BD}\cdot {\sin\delta }+{AD}\cdot {\cos\delta }={AC},\)
\(\displaystyle {AC}\cdot {\sin\delta }+{BC}\cdot {\cos\delta }={BD}. \)
Osszuk le mindkét egyenletet \(\displaystyle {AB}=d\)-vel:
\(\displaystyle \frac{{BD}} d\cdot {\sin\delta }+\frac{{AD}} d\cdot {\cos\delta }=\frac{{AC}} d, \)
\(\displaystyle \frac{{AC}} d\cdot {\sin\delta }+\frac{{BC}} d\cdot {\cos\delta }=\frac{{BD}} d.\)
\(\displaystyle \frac{{BD}} d={\cos\beta }\), \(\displaystyle \frac{{AD}} d={\sin\beta }\), \(\displaystyle \frac{{AC}} d={\sin\gamma }\), \(\displaystyle \frac{{BC}} d={\cos\gamma }\).
Így az egyenletek:
\(\displaystyle {\cos\beta }\cdot {\sin\delta }+{\sin\beta }\cdot {\cos\delta }={\sin\gamma },\)
\(\displaystyle {\sin\gamma }\cdot {\sin\delta }+{\cos\gamma }\cdot {\cos\delta }={\cos\beta }.\)
Az addíciós tételeket alkalmazva:
\(\displaystyle \sin \left(\beta +\delta \right)={\sin\gamma },\)
\(\displaystyle \cos \left(\gamma -\delta \right)={\cos\beta }.\)
Mindkét egyenlet teljesül, ha \(\displaystyle \delta =\gamma -\beta \).
Így \(\displaystyle \delta \) hegyesszög, tehát létezik \(\displaystyle x={\sin\delta }\), ahol \(\displaystyle 0<x<1\).
Statisztika:
25 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Csorba Benjámin, Gera Dóra, Horváth András János, Kocsis Júlia, Komoróczy Ádám, Kormányos Hanna Rebeka, Kósa Szilárd, Matusek Márton, Mészáros 01 Viktória, Nagy 911 Viktória, Szajkó Gréta, Tatai Mihály, Tóth Adrián. 4 pontot kapott: Csapó Márton, Kasó Ferenc, Sudár Ákos, Szücs Patrícia, Tar Viktor. 3 pontot kapott: 1 versenyző. 2 pontot kapott: 3 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző.
A KöMaL 2016. januári matematika feladatai