A C. 1340. feladat (2016. február)

C. 1340. Az \(\displaystyle ABCD\) téglalap \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CD\), \(\displaystyle DA\) oldalain rendre felvettük a \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\), \(\displaystyle R\), \(\displaystyle S\) pontokat oly módon, hogy a \(\displaystyle PR\) és a \(\displaystyle QS\) szakaszok merőlegesek egymásra. Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle SP\), \(\displaystyle PQ\), \(\displaystyle QR\) és \(\displaystyle RS\) szakaszok felezőpontjai egy téglalapot határoznak meg, és ez a téglalap hasonló az \(\displaystyle ABCD\) téglalaphoz.

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Mivel az \(\displaystyle EF\) szakasz a \(\displaystyle PQR\triangle\) középvonala, ezért \(\displaystyle EF||PR\) és \(\displaystyle EF=\frac{PR}{2}\).

Mivel a \(\displaystyle GH\) szakasz a \(\displaystyle PRS\triangle\) középvonala, ezért \(\displaystyle GH||PR\) és \(\displaystyle GH=\frac{PR}{2}\).

Ezért \(\displaystyle EF||GH\) és \(\displaystyle EF=GH\).

Hasonlóan belátható, hogy \(\displaystyle FG||EH\) és \(\displaystyle FG=EH\).

Mivel \(\displaystyle PR\perp SQ\), ezért \(\displaystyle EF\perp FG\), tehát az \(\displaystyle EFGH\) négyszög valóban téglalap.

Húzzunk a \(\displaystyle Q\) pontból párhuzamost \(\displaystyle AB\)-vel, metszéspontját \(\displaystyle AD\)-vel jelölje \(\displaystyle V\), majd húzzunk az \(\displaystyle R\) pontból párhuzamost \(\displaystyle BC\)-vel, metszéspontját \(\displaystyle AB\)-vel jelölje \(\displaystyle T\).

\(\displaystyle SQV\angle=α=PRT\angle\), mert merőleges szárú szögpárt alkotnak. Mivel \(\displaystyle AB=VQ=SQ\cdot\cos\alpha\) és \(\displaystyle BC=TR=PR\cdot\cos\alpha\), így:

\(\displaystyle \frac{AB}{BC}=\frac{SQ\cdot\cos\alpha}{PR\cdot\cos\alpha}=\frac{SQ}{PR}=\frac{SQ/2}{PR/2}=\frac{EF}{FG}.\)

Tehát a két téglalap hasonló.

Statisztika:

124 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	88 versenyző.
4 pontot kapott:	8 versenyző.
3 pontot kapott:	20 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2016. februári matematika feladatai