A C. 1347. feladat (2016. március)

C. 1347. Össze lehet-e ragasztani néhány \(\displaystyle 1~\rm~cm^3\) térfogatú kiskockát egy nem üreges testté úgy, hogy térfogatának és felszínének a \(\displaystyle \rm~cm^3\)-ben, illetve \(\displaystyle \rm cm^2\)-ben mért \(\displaystyle V\), illetve \(\displaystyle A\) mérőszámaira a \(\displaystyle V=\frac{5}{4}A\) összefüggés teljesüljön?

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. április 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Nézzük meg, van-e olyan \(\displaystyle 1~\mathrm{cm}^3\) térfogatú egységkockából összerakott kocka, ahol a térfogat és a felszín mérőszámának aránya: \(\displaystyle \frac VA=\frac 54\).

Legyen a kocka éle \(\displaystyle n\) egység. Ekkor \(\displaystyle \frac VA=\frac{n^3}{6n^2}=\frac n6=\frac54\).

Ebből \(\displaystyle n=7,5\) adódik, ami nem egész szám, tehát ilyen kocka nincs, de azt mutatja, hogy \(\displaystyle n=8\) esetén:

\(\displaystyle \frac VA=\frac{512}{384}=\frac43>\frac54=\frac{480}{384}.\)

Ahhoz, hogy a feltételnek megfelelő testet kapjunk, úgy kellene csökkenteni a 8 élhosszúságú kocka térfogatát \(\displaystyle 512-480=32\)-vel, hogy a kocka felszíne ne változzon. Ez lehetséges, ha a kocka 4 sarkából 2 cm élhosszúságú, vagyis 8 egység térfogatú kisebb kockákat vágunk ki. A felszín nem változik, a térfogat pedig 32-vel csökken, így ennél a testnél az arány \(\displaystyle \frac VA=\frac{480}{384}=\frac54\) lesz.

Statisztika:

95 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	73 versenyző.
4 pontot kapott:	3 versenyző.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	12 versenyző.

A KöMaL 2016. márciusi matematika feladatai