 |
A C. 1357. feladat (2016. május) |
C. 1357. Zsófi kiválasztott egy olyan négyzet alapú hasábot, melynek egyik éle 3 cm-rel hosszabb a másiknál. Ezután elárulta Gergőnek a hasáb felszínének nagyságát és azt, hogy a hasáb élei cm-ben mérve egész számok. Adjuk meg a hasáb éleinek hosszát, ha tudjuk, hogy Gergő egyértelműen ki tudta azt találni.
(5 pont)
A beküldési határidő 2016. június 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyen a négyzet alapú hasábok alapéle \(\displaystyle a\), magassága \(\displaystyle m_1=a-3\) vagy \(\displaystyle m_2=a+3\) az ábra jelölései szerint.
Ekkor a felszínük:
\(\displaystyle A=2a^2+4a(a-3)=6a^2-12a=6(a-1)^2-6,\)
\(\displaystyle A=2a^2+4a(a+3)=6a^2+12a=6(a+1)^2-6.\)
Ebből \(\displaystyle (a-1)^2=\frac A6+1\) vagy \(\displaystyle (a+1)^2=\frac A6+1\).
A hasáb egy adott \(\displaystyle A\) felszínhez tartozó élei (mivel azok pozitív egészek): \(\displaystyle a_1=\sqrt{\frac A6+1}+1\) és \(\displaystyle m_1=a_1-3\) vagy \(\displaystyle a_2=\sqrt{\frac A6+1} -1\) és \(\displaystyle m_2=a_2+3\).
Egy adott felszín érték esetén az élek nagysága csak akkor egyértelmű, ha egyik megoldás esetén valamelyik él értéke nem lesz pozitív szám.
Az egyik lehetőség az lenne, ha az alapél kisebbik értéke, \(\displaystyle a_2=0\) lenne, de \(\displaystyle A>0\) esetén \(\displaystyle \sqrt{\frac A6+1}>1\) miatt ez nem lehetséges. Az is látszik, hogy \(\displaystyle a_1>2\).
A másik lehetőség, ha \(\displaystyle a_1=3\), mert az ehhez tartozó magasság \(\displaystyle m_1=0\) lenne. Ekkor \(\displaystyle \sqrt{\frac A6+1}=2\) miatt \(\displaystyle a_2=1\), és az ehhez tartozó magasság értéke \(\displaystyle m_2=4\).
A hasáb felszínének nagysága tehát \(\displaystyle A=(2^2-1)\cdot6=18\mathrm{~cm}^2\) és ekkor egyértelmű az élek hossza: \(\displaystyle a=1\) cm és \(\displaystyle m=4\) cm. \(\displaystyle a_1>3\) esetén pedig már nem lesz egyértelmű az élek hossza. Így a feladatnak ez az egy megoldása van.
Statisztika:
64 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 52 versenyző. 3 pontot kapott: 5 versenyző. 2 pontot kapott: 4 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző.
A KöMaL 2016. májusi matematika feladatai