Problem C. 1366. (September 2016)

C. 1366. The creatures living on asteroid GZs4-26 count in base three. The digits they use are \(\displaystyle \triangle\), \(\displaystyle \square\) and \(\displaystyle \bigcirc\), in some order. Given that \(\displaystyle \square\square\square\cdot \triangle\triangle =\square\bigcirc \triangle\square\triangle\), determine the result of the multiplication \(\displaystyle \triangle\square\bigcirc\cdot \square\bigcirc\square\triangle\).

(5 pont)

Deadline expired on October 10, 2016.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A hármas számrendszerben mi a 0,1,2 számjegyeket használjuk. Az első szorzásból látszik, hogy a \(\displaystyle \square\) és a \(\displaystyle \triangle\) nem lehet 0, így \(\displaystyle \bigcirc=0\). Másrészt az egyes helyiértéken álló számjegyek szorzata: \(\displaystyle \square\cdot\triangle=\triangle\). Ebből következik, hogy \(\displaystyle \square = 1\) és \(\displaystyle \triangle = 2\). Így az első szorzat számjegyekkel: \(\displaystyle 111_3\cdot 22_3 = 10212_3\). Ezt felírva 10-es számrendszerben: \(\displaystyle 13_{10}\cdot8_{10} = 104_{10}\), ami valóban teljesül.

A kérdéses szorzat:

\(\displaystyle \triangle\square\bigcirc\cdot\square\bigcirc\square\triangle=210_3\cdot 1012_3=21_{10}\cdot 32_{10}=672_{10}=220220_3.\)

Tehát a szorzás eredménye \(\displaystyle 220220_3=\triangle\triangle\bigcirc\triangle\triangle\bigcirc\).

Megjegyzés. A sok pontlevonás az alábbi hiányosságokból adódott:
– enyhén hiányos indoklás;
– nem ellenőrizte a megoldó, hogy \(\displaystyle 111_3\cdot 22_3\) valóban \(\displaystyle 10212_3\)-vel egyenlő;
– a versenyző belátta, hogy a kör csak a 0-t helyettesítheti, de ezután a maradék két eset közül csak feltételezte a későbbi jó megoldást;
– számolási hiba;
– a versenyző nem válaszolt a feladat kérdésére.

Statistics:

362 students sent a solution.
5 points:	172 students.
4 points:	119 students.
3 points:	39 students.
2 points:	22 students.
1 point:	3 students.
0 point:	4 students.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2016