Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem C. 1366. (September 2016)

C. 1366. The creatures living on asteroid GZs4-26 count in base three. The digits they use are \(\displaystyle \triangle\), \(\displaystyle \square\) and \(\displaystyle \bigcirc\), in some order. Given that \(\displaystyle \square\square\square\cdot \triangle\triangle =\square\bigcirc \triangle\square\triangle\), determine the result of the multiplication \(\displaystyle \triangle\square\bigcirc\cdot \square\bigcirc\square\triangle\).

(5 pont)

Deadline expired on October 10, 2016.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A hármas számrendszerben mi a 0,1,2 számjegyeket használjuk. Az első szorzásból látszik, hogy a \(\displaystyle \square\) és a \(\displaystyle \triangle\) nem lehet 0, így \(\displaystyle \bigcirc=0\). Másrészt az egyes helyiértéken álló számjegyek szorzata: \(\displaystyle \square\cdot\triangle=\triangle\). Ebből következik, hogy \(\displaystyle \square = 1\) és \(\displaystyle \triangle = 2\). Így az első szorzat számjegyekkel: \(\displaystyle 111_3\cdot 22_3 = 10212_3\). Ezt felírva 10-es számrendszerben: \(\displaystyle 13_{10}\cdot8_{10} = 104_{10}\), ami valóban teljesül.

A kérdéses szorzat:

\(\displaystyle \triangle\square\bigcirc\cdot\square\bigcirc\square\triangle=210_3\cdot 1012_3=21_{10}\cdot 32_{10}=672_{10}=220220_3.\)

Tehát a szorzás eredménye \(\displaystyle 220220_3=\triangle\triangle\bigcirc\triangle\triangle\bigcirc\).

Megjegyzés. A sok pontlevonás az alábbi hiányosságokból adódott:
– enyhén hiányos indoklás;
– nem ellenőrizte a megoldó, hogy \(\displaystyle 111_3\cdot 22_3\) valóban \(\displaystyle 10212_3\)-vel egyenlő;
– a versenyző belátta, hogy a kör csak a 0-t helyettesítheti, de ezután a maradék két eset közül csak feltételezte a későbbi jó megoldást;
– számolási hiba;
– a versenyző nem válaszolt a feladat kérdésére.


Statistics:

363 students sent a solution.
5 points:172 students.
4 points:120 students.
3 points:39 students.
2 points:22 students.
1 point:3 students.
0 point:4 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2016