KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1367. (September 2016)

C. 1367. The convex octagon \(\displaystyle ABCDEFGH\) has a centre of symmetry. Prove that the sum of the areas of the quadrilaterals \(\displaystyle ABEF\), \(\displaystyle BCFG\), \(\displaystyle CDGH\) and \(\displaystyle DEHA\) is twice the area of the octagon.

(5 pont)

Deadline expired on 10 October 2016.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Mivel a nyolcszög középpontosan szimmetrikus, az \(\displaystyle ABEF\) négyszög paralelogramma, így a \(\displaystyle BF\) átló felezi a területét. Az \(\displaystyle ABF\) háromszög területét pedig az \(\displaystyle AO\) súlyvonala felezi.

Ezért \(\displaystyle T_{ABO}=\frac{T_{ABEF}}{4}\). A szimmetria miatt \(\displaystyle T_{ABO}=T_{EFO}\), így \(\displaystyle T_{ABO}+T_{EFO}=\frac{T_{ABEF}}{2}\), vagyis \(\displaystyle T_{ABEF}=2(T_{ABO}+T_{EFO})\).

Hasonló állításokat láthatunk be a \(\displaystyle BCFG\), \(\displaystyle CDGH\) és \(\displaystyle DEHA \) paralelogrammákra.

A nyolcszög területe az \(\displaystyle ABO\), \(\displaystyle BCO\),…, \(\displaystyle HAO\) részháromszögek területének összege. A négy paralelogramma területének összege pedig ezen háromszögek területösszegének kétszerese.

Tehát \(\displaystyle T_{ABEF}+T_{BCFG}+T_{CDGH}+T_{DEHA}=2\cdot T_{ABCDEFGH}\).

Megjegyzés. Nagyon sokan rosszul értelmezték a feladatot és szabályos (esetleg tengelyesen szimmetrikus) nyolcszögre oldották meg a feladatot. Ők 0 pontot kaptak.


Statistics:

229 students sent a solution.
5 points:115 students.
4 points:27 students.
3 points:5 students.
2 points:6 students.
1 point:5 students.
0 point:69 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley