A C. 1367. feladat (2016. szeptember)

C. 1367. Az \(\displaystyle ABCDEFGH\) konvex nyolcszög középpontosan szimmetrikus. Igazoljuk, hogy az \(\displaystyle ABEF\), \(\displaystyle BCFG\), \(\displaystyle CDGH\) és \(\displaystyle DEHA\) négyszögek területének összege a nyolcszög területének kétszerese.

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Mivel a nyolcszög középpontosan szimmetrikus, az \(\displaystyle ABEF\) négyszög paralelogramma, így a \(\displaystyle BF\) átló felezi a területét. Az \(\displaystyle ABF\) háromszög területét pedig az \(\displaystyle AO\) súlyvonala felezi.

Ezért \(\displaystyle T_{ABO}=\frac{T_{ABEF}}{4}\). A szimmetria miatt \(\displaystyle T_{ABO}=T_{EFO}\), így \(\displaystyle T_{ABO}+T_{EFO}=\frac{T_{ABEF}}{2}\), vagyis \(\displaystyle T_{ABEF}=2(T_{ABO}+T_{EFO})\).

Hasonló állításokat láthatunk be a \(\displaystyle BCFG\), \(\displaystyle CDGH\) és \(\displaystyle DEHA \) paralelogrammákra.

A nyolcszög területe az \(\displaystyle ABO\), \(\displaystyle BCO\),…, \(\displaystyle HAO\) részháromszögek területének összege. A négy paralelogramma területének összege pedig ezen háromszögek területösszegének kétszerese.

Tehát \(\displaystyle T_{ABEF}+T_{BCFG}+T_{CDGH}+T_{DEHA}=2\cdot T_{ABCDEFGH}\).

Megjegyzés. Nagyon sokan rosszul értelmezték a feladatot és szabályos (esetleg tengelyesen szimmetrikus) nyolcszögre oldották meg a feladatot. Ők 0 pontot kaptak.

Statisztika:

229 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	115 versenyző.
4 pontot kapott:	27 versenyző.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	69 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2016. szeptemberi matematika feladatai