KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1368. Solve the equation

\(\displaystyle {[x]}^2+ {\{x\}}^2 + x^2 +2[x]\{x\}=4x-2x[x]-2x\{x\}-1, \)

where \(\displaystyle [x]\) denotes the greatest integer not greater than the number \(\displaystyle x\), and \(\displaystyle \{x\}\) denotes the difference between \(\displaystyle x\) and \(\displaystyle [x]\).

(5 points)

Deadline expired on 10 October 2016.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Rendezzük át az egyenletet:

\(\displaystyle [x]^2+2[x]\{x\}+\{x\}^2+x^2=4x-2x\cdot([x]+\{x\})-1,\)

\(\displaystyle ([x]+\{x\})^2+x^2=-2x\cdot([x]+\{x\})+4x-1.\)

Mivel \(\displaystyle [x]+\{x\}=x\), így az egyenlet így írható: \(\displaystyle x^2+x^2=-2x^2+4x-1\). Rendezve: \(\displaystyle 4x^2-4x+1=0\), teljes négyzetté alakítva: \(\displaystyle (2x-1)^2=0\), amiből \(\displaystyle 2x-1=0\), és így \(\displaystyle x=\frac12\) következik.

Ellenőrzés: \(\displaystyle 0+\frac14+\frac14+2\cdot0\cdot\frac12=4\cdot\frac12-2\cdot\frac12\cdot0-2\cdot\frac12\cdot\frac12-1\), vagyis \(\displaystyle \frac12= \frac12\).


Statistics on problem C. 1368.
334 students sent a solution.
5 points:282 students.
4 points:21 students.
3 points:13 students.
2 points:6 students.
1 point:1 student.
0 point:4 students.
Unfair, not evaluated:7 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, September 2016

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley