A C. 1368. feladat (2016. szeptember)

C. 1368. Oldjuk meg az

\(\displaystyle {[x]}^2+ {\{x\}}^2 + x^2 +2[x]\{x\}=4x-2x[x]-2x\{x\}-1 \)

egyenletet, ahol \(\displaystyle [x]\) az \(\displaystyle x\) szám egészrészét, \(\displaystyle \{x\}\) pedig az \(\displaystyle x\) szám törtrészét jelenti.

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Rendezzük át az egyenletet:

\(\displaystyle [x]^2+2[x]\{x\}+\{x\}^2+x^2=4x-2x\cdot([x]+\{x\})-1,\)

\(\displaystyle ([x]+\{x\})^2+x^2=-2x\cdot([x]+\{x\})+4x-1.\)

Mivel \(\displaystyle [x]+\{x\}=x\), így az egyenlet így írható: \(\displaystyle x^2+x^2=-2x^2+4x-1\). Rendezve: \(\displaystyle 4x^2-4x+1=0\), teljes négyzetté alakítva: \(\displaystyle (2x-1)^2=0\), amiből \(\displaystyle 2x-1=0\), és így \(\displaystyle x=\frac12\) következik.

Ellenőrzés: \(\displaystyle 0+\frac14+\frac14+2\cdot0\cdot\frac12=4\cdot\frac12-2\cdot\frac12\cdot0-2\cdot\frac12\cdot\frac12-1\), vagyis \(\displaystyle \frac12= \frac12\).

Statisztika:

334 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	282 versenyző.
4 pontot kapott:	21 versenyző.
3 pontot kapott:	13 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem versenyszerű:	7 dolgozat.

A KöMaL 2016. szeptemberi matematika feladatai