KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1369. (September 2016)

C. 1369. The coordinates of the centroid of a triangle are \(\displaystyle \left(5;-\frac{5}{3}\right)\), its orthocentre is \(\displaystyle (3;-1)\), and one vertex is \(\displaystyle (7;3)\). Find the coordinates of the other two vertices.

(5 pont)

Deadline expired on 10 October 2016.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen \(\displaystyle F\) az \(\displaystyle a\) oldal felezőpontja és használjuk az ábra jelöléseit.

Ekkor az \(\displaystyle S\) súlypont 2:1 arányban osztja az \(\displaystyle AF\) szakaszt. Ebből \(\displaystyle F\) koordinátái kiszámíthatók: \(\displaystyle \frac{2x_F+7}{3}=5\), \(\displaystyle \frac{2y_F+3}{3}=-\frac53\), amiből \(\displaystyle x_F=4\) és \(\displaystyle y_F=-4\), vagyis \(\displaystyle F(4;-4)\).

Az \(\displaystyle a\) oldal egyenese átmegy az \(\displaystyle F\) ponton és merőleges az \(\displaystyle AM\) egyenesre, ezért egyik pontja \(\displaystyle F(4;-4)\), normálvektora \(\displaystyle \overrightarrow{MA}=(4;4)\), így egyenlete \(\displaystyle x+y=0\), vagyis \(\displaystyle y=-x\).

Az \(\displaystyle M\) magasságpont, az \(\displaystyle S\) súlypont és \(\displaystyle O\), a körülírt kör középpontja a háromszög Euler-egyenesén vannak és az \(\displaystyle S\) pont 2:1 arányban osztja az \(\displaystyle MO\) szakaszt. Ebből az \(\displaystyle O\) pont koordinátái kiszámíthatók: \(\displaystyle \frac{2x_O+3}{3}=5\), \(\displaystyle \frac{2y_O-1}{3}=-\frac53\), amiből \(\displaystyle x_O=6\) és \(\displaystyle y_O=-2\), vagyis \(\displaystyle O(6;-2)\).

A háromszög köré írt kör sugara: \(\displaystyle r=|\overrightarrow{OA}|=\sqrt{(7-6)^2+(3+2)^2}=\sqrt{26}\), egyenlete: \(\displaystyle (x-6)^2+(y+2)^2=26\).

A \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) csúcsok koordinátáit az \(\displaystyle a\) oldalegyenes és a kör metszéspontjai adják:

\(\displaystyle (x-6)^2+(y+2)^2=26,\)

\(\displaystyle y=-x.\)

Behelyettesítve:

\(\displaystyle (x-6)^2+(2-x)^2=26,\)

\(\displaystyle x^2-12x+36+4-4x+x^2=26.\)

Rendezve:

\(\displaystyle 2x^2-16x+14=0,\)

\(\displaystyle x^2-8x+7=0.\)

Megoldások: \(\displaystyle x_1=1\), \(\displaystyle x_2=7\). A megfelelő \(\displaystyle y\) koordináták: \(\displaystyle y_1=-1\), \(\displaystyle y_2=-7\).

Tehát a háromszög másik két csúcsának koordinátái: \(\displaystyle B(1;-1)\) és \(\displaystyle C(7;-7\)).


Statistics:

90 students sent a solution.
5 points:51 students.
4 points:4 students.
3 points:9 students.
2 points:6 students.
1 point:15 students.
0 point:4 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley