KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1372. A regular octagon is formed by cutting off the corners of a square in the appropriate way. Which is greater: the percentage decrease of the perimeter of the square or the percentage decrease of its area?

(5 points)

This problem is for grade 1 - 10 students only.

Deadline expired on 10 November 2016.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. A négyzet oldala legyen \(\displaystyle a=1\), a nyolcszög oldala legyen \(\displaystyle b\).

Az ábra alapján \(\displaystyle b\)-re a következő egyenletet tudjuk felírni:

\(\displaystyle 1-2x=x\sqrt2.\)

Rendezve és gyöktelenítve a nevezőt:

\(\displaystyle x=\frac{1}{2+\sqrt2}=\frac{2-\sqrt2}{2}.\)

A négyzet kerülete \(\displaystyle K_4=4\), területe \(\displaystyle T_4=1\).

A nyolcszög kerülete: \(\displaystyle K_8=8b=8x\sqrt2=4\sqrt2(2-\sqrt2)\).

A nyolcszög területe:

\(\displaystyle T_8=1-2x^2=1-2\left(\frac{2-\sqrt2}{2}\right)^2= 1-\frac{4-4\sqrt2+2}{2}=1-(2-2\sqrt2+1)=2\sqrt2-2.\)

Vizsgáljuk meg a két arányt.

\(\displaystyle \frac{K_8}{K_4} =\frac{4\sqrt2(2-\sqrt2)}{4}=2\sqrt2-2.\)

\(\displaystyle \frac{T_8}{T_4} =\frac{2\sqrt2-2}{1}=2\sqrt2-2.\)

Tehát a négyzet kerülete és területe egyenlő arányban csökken.


Statistics on problem C. 1372.
221 students sent a solution.
5 points:151 students.
4 points:21 students.
3 points:23 students.
2 points:12 students.
1 point:6 students.
0 point:8 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, October 2016

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley