KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

KöMaL Füzetek 1: Tálalási javaslatok matematika felvételire

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1373. Let \(\displaystyle a\) and \(\displaystyle b\) denote positive integers. Given that three line segments of lengths \(\displaystyle a\), \(\displaystyle 1/a\), \(\displaystyle b\) can form a triangle, and three line segments of lengths \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle 1/b\) can also form a triangle, prove that both triangles are isosceles.

(5 points)

Deadline expired on 10 November 2016.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Vizsgáljuk először az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle 1/a\), \(\displaystyle b\) oldalakkal rendelkező háromszöget. Mivel a háromszög az adott oldalakkal megszerkeszthető, ezért igaz rá a háromszög-egyenlőtlenség bármely oldalakra felírva. Először írjuk fel így:

\(\displaystyle a+\frac1a>b.\)

Az \(\displaystyle a>0\) számmal szorozva:

\(\displaystyle a^2+1>ab,\)

\(\displaystyle a^2>ab-1.\)

Másodszor írjuk fel így:

\(\displaystyle b+\frac1a>a.\)

Az \(\displaystyle a>0\) számmal szorozva:

\(\displaystyle ab+1>a^2.\)

A kapott egyenlőtlenségeket egymás után írva:

\(\displaystyle ab+1>a^2>ab-1.\)

Mivel \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) pozitív egész számok, ezért ez csak akkor teljesülhet, ha

\(\displaystyle ab=a^2,\)

\(\displaystyle b=a.\)

Vagyis ez a háromszög egyenlő szárú.

Most vizsgáljuk hasonlóan az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle 1/b\) oldalakkal rendelkező háromszöget. Írjuk fel itt is a háromszög egyenlőtlenséget:

\(\displaystyle b+\frac1b>a.\)

A \(\displaystyle b>0\) számmal szorozva:

\(\displaystyle b^2+1>ab,\)

\(\displaystyle b^2>ab-1.\)

Másodszor így írjuk fel:

\(\displaystyle a+\frac1b>b.\)

A \(\displaystyle b>0\) számmal szorozva:

\(\displaystyle ab+1>b^2.\)

A kapott egyenlőtlenségeket egymás után írva:

\(\displaystyle ab+1>b^2>ab-1.\)

Mivel \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) pozitív egész számok, ezért

\(\displaystyle ab=b^2,\)

\(\displaystyle b=a.\)

Tehát ez a háromszög is egyenlő szárú.


Statistics on problem C. 1373.
255 students sent a solution.
5 points:191 students.
4 points:17 students.
3 points:25 students.
2 points:11 students.
1 point:7 students.
0 point:1 student.
Unfair, not evaluated:3 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, October 2016

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley