Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 1374. (October 2016)

C. 1374. The sides of a kite are 6 cm and 8 cm long, and sides of different lengths enclose a right angle. Determine the distance between the centres of the inscribed circle and the circumscribed circle of the kite.

(5 pont)

Deadline expired on November 10, 2016.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás:. A deltoid \(\displaystyle AC\) átlója a Pitagorasz-tétel segítségével:

\(\displaystyle AC=\sqrt{6^2+8^2}=10.\)

A deltoid köré írható kör sugara:

\(\displaystyle CO=\frac{AC}{2}=5\mathrm{~ cm}.\)

A deltoidba írható kör \(\displaystyle K\) középpontja az \(\displaystyle AC\) átló és a \(\displaystyle B\) pontból induló szögfelező metszéspontja.

A szögfelező a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja, így

\(\displaystyle \frac{CK}{CK+KA}=\frac{CB}{CB+BA},\)

\(\displaystyle \frac{CK}{CA}=\frac{CB}{CB+BA},\)

\(\displaystyle \frac{CK}{10}=\frac{6}{6+8},\)

\(\displaystyle CK=\frac{6}{6+8}\cdot10=\frac{30}{7}=4\frac27\mathrm{~ cm}.\)

Mivel \(\displaystyle CO=5>4 \frac27\), ezért a keresett távolság: \(\displaystyle OK=CO-CK=5-4 \frac27=\frac57\) cm.


Statistics:

298 students sent a solution.
5 points:159 students.
4 points:72 students.
3 points:22 students.
2 points:15 students.
1 point:9 students.
0 point:11 students.
Unfair, not evaluated:10 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2016