Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 1375. (October 2016)

C. 1375. How many two-digit numbers are there in base \(\displaystyle n\) notation, whose digit sum is also a two-digit number (in base \(\displaystyle n\))? State your answer in base \(\displaystyle n\).

(5 pont)

Deadline expired on November 10, 2016.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle n\) alapú számrendszerben 1-től felfelé számolva az első kétjegyű szám az \(\displaystyle n\), az első háromjegyű pedig az \(\displaystyle n^2\). Ezért a kétjegyű számok száma \(\displaystyle n^2-n\).

Ha egy kétjegyű szám számjegyeinek összege legalább \(\displaystyle n\) és legfeljebb \(\displaystyle n^2-1\), akkor ez az összeg \(\displaystyle n\) alapú számrendszerben kétjegyű számmal írható le, egyéb esetben nem. A legnagyobb összeg, ami kétjegyű szám számjegyeinek összegeként létrejön, \(\displaystyle 2\cdot(n-1)<n^2\) (hiszen ez ekvivalens azzal, hogy \(\displaystyle 0<n^2-2n+2=(n-1)^2+1\)). Tehát a számjegyek összege biztosan kisebb, mint \(\displaystyle n^2\), így elég csak azt vizsgálni, hogy mikor lesz az összeg legalább \(\displaystyle n\).

Ha a kétjegyű szám első számjegye 1, akkor a második számjegy csak \(\displaystyle n-1\) lehet. Ha eggyel növeljük az első számjegyet, akkor a lehetőségek száma is eggyel nő. Ha az első számjegy a 2, akkor a második számjegy \(\displaystyle n-1\) és \(\displaystyle n-2\) lehet. És így tovább. Az első számjegy legfeljebb \(\displaystyle n-1\) lehet, ekkor a második számjegy 1-től \(\displaystyle n-1\)-ig bármelyik számjegy lehet, tehát ekkor \(\displaystyle n-1\) lehetőség van.

A keresett kétjegyű számok számát a következő (\(\displaystyle n-1\)) tagú összeg adja meg:

\(\displaystyle S=1+2+\dots+(n-2)+(n-1)=\frac{1+(n-1)}{2}(n-1)= \frac{n(n-1)}{2}=\frac{n^2-n}{2}.\)

Tehát a kétjegyű számok fele lesz ilyen tulajdonságú.

Ha \(\displaystyle n\) páratlan: \(\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}=n\cdot\frac{n-1}{2}\), tehát \(\displaystyle S_n=\overline{\frac{n-1}{2};0}\).

Ha \(\displaystyle n\) páros: \(\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}=n\cdot\frac{n-2}{2}+\frac n2\), tehát \(\displaystyle S_n=\overline{\frac{n-2}{2};\frac n2}\).

Az első néhány \(\displaystyle n\) esetén:

\(\displaystyle n\) \(\displaystyle S_{10}\) \(\displaystyle S_n\)
2 1 1
3 3 10
4 6 12
5 10 20
6 15 23
7 21 30

Statistics:

209 students sent a solution.
5 points:Antal Virág Anna, Apagyi Dávid, Árvai Balázs, Baski Bence, Böcskei Balázs, Csóti Kristóf, Dankowsky Anna Zóra, Keltai Dóra, Markó Gábor, Marozsák Tádé, Molnár 410 István, Nagy 911 Viktória, Nagy Olivér, Németh Csilla Márta, Perényi Gellért, Radó Albert, Szécsi Adél Lilla, Szilágyi Éva, Szonda Katalin, Tanács Viktória, Varga 157 Kristóf, Varga 294 Ákos, Weisz Máté, Williams Hajna, Zsombó István.
4 points:Argay Zsolt, Csóka Zoárd, Fülöp Dorottya Száva, Gera Dóra, Kis 999 Alexandra, Lévay Mátyás, Mácz Andrea, Márki Péter, Szabó Csenge Zsófia, Szalay Máté Csongor, Turcsányi Ádám, Vincze Lilla.
3 points:85 students.
2 points:30 students.
1 point:39 students.
0 point:16 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2016