KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1379. A certain cyclic trapezium has an inscribed circle. Prove that one of the two line segments joining the points of tangency on the opposite sides is the geometric mean of the bases, and the other is the harmonic mean.

(5 points)

This problem is for grade 1 - 10 students only.

Deadline expired on 12 December 2016.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Az ábra jelöléseit felhasználva a trapéz \(\displaystyle AD\) szárán lévő szögekre \(\displaystyle α+δ=180°\). Így \(\displaystyle \alpha/2+\delta/2=90^{\circ}\). Ezért az \(\displaystyle AOD\) háromszög derékszögű, az átfogóhoz tartozó magassága \(\displaystyle r\). Az érintési szakaszok egyenlősége miatt \(\displaystyle AH=AE=\frac a2\), \(\displaystyle DH=DG=\frac c2\) és így \(\displaystyle AD=\frac{a+c}{2}\). Alkalmazzuk a magasságtételt a háromszögben: \(\displaystyle r=\sqrt{\frac a2\cdot\frac c2}=\frac{\sqrt{ac}}{2}\).

Tehát az \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle G\) érintési pontok távolsága: \(\displaystyle EG=2r=\sqrt{ac}\), ami a két párhuzamos oldal mértani közepe.

A \(\displaystyle DHOG\) négyszögben \(\displaystyle DGO∡=DHO∡=90^{\circ}\), tehát a négyszög húrnégyszög, és így \(\displaystyle HOG∡=180^{\circ}-δ=α\).

Az \(\displaystyle AKD\) derékszögű háromszögben \(\displaystyle \sin α=\frac{DK}{AD}=\frac{2r}{\frac{a+c}{2}}\).

Ezt felhasználva a \(\displaystyle HOJ\) derékszögű háromszögben \(\displaystyle \frac{HF}{2}=HJ=r\cdot \sin α=r\cdot \frac{2r}{\frac{a+c}{2}}=\frac{4r^2}{a+c}=\frac{ac}{a+c}\).

Tehát a másik két érintési pont távolsága: \(\displaystyle HF=\frac{2ac}{a+c}=\frac{2}{\frac1a+\frac1c}\), ami éppen a két párhuzamos oldal harmonikus közepe.


Statistics on problem C. 1379.
124 students sent a solution.
5 points:95 students.
4 points:3 students.
3 points:12 students.
2 points:1 student.
0 point:10 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, November 2016

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley