Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 1380. (November 2016)

C. 1380. An odd number of digits are written on the circumference of a circle. Each of them is a 0, 1 or 2, and they are not all equal. In each step, we simultaneously write between every pair of adjacent numbers the remainder of their sum divided by 3, and then erase the original two numbers. Is it possible that all numbers become identical on the circumference of the circle after a few such steps?

Proposed by D. Matolcsi, Budapest

(5 pont)

Deadline expired on December 12, 2016.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A számok száma a kör kerületén a lépések során nem változik. Ezt szemléletesen úgy láthatjuk be, hogy legyenek a számok először egy páratlan, n oldalú sokszög csúcsaiban, majd a közéjük írt számok a sokszög oldalélein. Ezekből is n darab van. Majd újra a csúcsain, majd az oldaléleken... Tegyük fel, hogy a végén csak 0-k lesznek a körön, míg az előző állapotban nem csupa 0 volt. Ekkor az előző állapotban nem lehet egyetlen 0 sem, mert akkor lenne 0 – 1 vagy 0 – 2 pár, amiből nem keletkezhetett volna 0. Vagyis az előző állapotban csak 1 – 2 párok lehetnek, mert a 0 – 0 páron kívül csak ezekből keletkezik 0. De ez sem lehetséges, mert páratlan sok szám van felírva a körre, így lennie kell legalább egy 1 – 1 vagy 2 – 2 párnak. Így ellentmondásra jutottunk.

Mivel 1-et csak 2 – 2 vagy 0 – 1 párból, 2-t pedig csak 1 – 1 vagy 0 – 2 párból kaphatunk, ezért hasonló gondolatmenettel beláthatjuk, hogy sem csupa 1-es, sem csupa 2-es nem keletkezhet a körön, ha az eredetileg felírt számok nem mind egyformák.


Statistics:

195 students sent a solution.
5 points:153 students.
4 points:16 students.
3 points:6 students.
2 points:3 students.
1 point:6 students.
0 point:8 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2016