KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1382. (November 2016)

C. 1382. Prove the following inequality:

\(\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}+\frac{1}{\sqrt3+\sqrt4}+\ldots +\frac{1}{\sqrt{2016}+\sqrt{2017}}< \sqrt{2017}\,. \)

(5 pont)

Deadline expired on December 12, 2016.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A bal oldalt átalakítjuk. Fordítsuk meg a nevezőben található összeadandók sorrendjét és gyöktelenítsük a törteket:

\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt2+1}\cdot\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2-1}+ \frac{1}{\sqrt3+\sqrt2}\cdot\frac{\sqrt3-\sqrt2}{\sqrt3-\sqrt2}+ ...+\frac{1}{\sqrt{2017}+\sqrt{2016}}\cdot\frac{\sqrt{2017}-\sqrt{2016}}{\sqrt{2017}-\sqrt{2016}}=\)

\(\displaystyle =\frac{\sqrt2-1}{2-1}+\frac{\sqrt3-\sqrt2}{3-2}+...+\frac{\sqrt{2017}-\sqrt{2016}}{2017-2016}.\)

A nevezőkben a különbség mindenhol 1 lesz, így a nevezőket el lehet hagyni. Ezt kapjuk:

\(\displaystyle \sqrt2-1+\sqrt3-\sqrt2+...+\sqrt{2017}-\sqrt{2016}.\)

2-től 2016-ig minden szám gyöke kétszer szerepel, ellenkező előjellel, így kiejtik egymást.

Tehát a bal oldal (\(\displaystyle \sqrt{2017}-1\))-gyel egyenlő, ami valóban kisebb, mint \(\displaystyle \sqrt{2017}\).


Statistics:

275 students sent a solution.
5 points:108 students.
4 points:93 students.
3 points:39 students.
2 points:16 students.
1 point:6 students.
0 point:8 students.
Unfair, not evaluated:4 solutions.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley