KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1383. (November 2016)

C. 1383. The midpoint of line segment \(\displaystyle AB\) is \(\displaystyle O\), the point closer to \(\displaystyle A\) dividing \(\displaystyle AB\) into a ratio \(\displaystyle 1:4\) is \(\displaystyle C\), and the point closer to \(\displaystyle B\) dividing \(\displaystyle AB\) into a ratio \(\displaystyle 1:4\) is \(\displaystyle D\). The perpendiculars drawn at points \(\displaystyle C\), \(\displaystyle O\) and \(\displaystyle D\) to the line segment \(\displaystyle AB\) intersect the semicircle of diameter \(\displaystyle AB\) at the points \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\), \(\displaystyle R\), respectively. Determine the angles of triangles \(\displaystyle PQB\) and \(\displaystyle QRB\).

Proposed by B. Bíró, Eger

(5 pont)

Deadline expired on 12 December 2016.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az \(\displaystyle AB\) átmérőjű körben a \(\displaystyle BOQ\) középponti szög értéke \(\displaystyle 90^{\circ}\). A kerületi és középponti szögek tétele miatt \(\displaystyle BPQ\) kerületi szög \(\displaystyle 45^{\circ}\). Mivel a \(\displaystyle BPQR\) négyszög húrnégyszög, ezért \(\displaystyle QRB∡=180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}\).

\(\displaystyle OB=OR=r\), \(\displaystyle OD=\frac{OB}{2}=\frac r2\), így az \(\displaystyle ODR\) derékszögű háromszögben a rövidebbik befogó az átfogó fele, ezért hegyesszögei: \(\displaystyle DOR∡=60^{\circ}\) és \(\displaystyle DRO∡=30^{\circ}\). \(\displaystyle BOQ\) egyenlő szárú derékszögű háromszög, ezért \(\displaystyle BQO∡=45^{\circ}\).

A \(\displaystyle BOR\) középponti szöghöz tartozó kerületi szög \(\displaystyle BQR∡=30^{\circ}\). A szimmetria miatt \(\displaystyle PQO∡=RQO∡=45^{\circ}+30^{\circ}=75^{\circ}\). \(\displaystyle ROQ∡=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}\). Ehhez, mint középponti szöghöz tartozó kerületi szög \(\displaystyle RBQ∡=15^{\circ}\). \(\displaystyle PBQ∡=15^{\circ}\), mert \(\displaystyle RBQ\) szöggel megegyező íven nyugvó kerületi szög a körben.

Ezek alapján \(\displaystyle PQBΔ\) szögei: \(\displaystyle 45^{\circ}\), \(\displaystyle 120^{\circ}\) és \(\displaystyle 15^{\circ}\). A \(\displaystyle QRBΔ\) szögei: \(\displaystyle 30^{\circ}\), \(\displaystyle 135^{\circ}\) és \(\displaystyle 15^{\circ}\).


Statistics:

81 students sent a solution.
5 points:Árvai Balázs, Balbisi Mirjam, Csapó Márton, Dézsi Viktória, Édes Lili, Gera Dóra, Gergály Szabolcs, Jakus Péter János, Kaposi Benedek, Kis 999 Alexandra, Kocsis Júlia, Kormányos Hanna Rebeka, Mácz Andrea, Mészáros Bálint, Mészáros Melinda, Nagy Odett, Nagy Olivér, Németh Csilla Márta, Pap-Takács Noémi, Pszota Máté, Szabadfalvi Dániel, Szalay Gergő, Szécsi Adél Lilla, Szilágyi Éva, Szűcs 865 Eszter, Takács 666 Réka, Tanács Viktória, Tatai Mihály, Török Attila, Varga 157 Kristóf, Veibli-Magyari Kristóf, Zeller Doroti, Zsombó István.
4 points:Agócs Katinka, Antal Georgina, Erdélyi Janka, Erdődi Ádám Károly, Gálik Annamária, Horváth 546 János, Karajz Ágnes Fruzsina, Kocsis Ábel, Nagy Enikő, Ondrik Ákos, Perényi Gellért, Radó Albert, Sántha 001 Balázs, Simon Ákos, Surján Anett, Szabó Alexandra, Szalay Dorottya.
3 points:11 students.
2 points:10 students.
1 point:3 students.
0 point:6 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley