Problem C. 1384. (November 2016)

C. 1384. Let \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) and \(\displaystyle d\) denote pairwise different positive integers. Solve the following simultaneous equations:

\(\displaystyle ab = c+d,\)

\(\displaystyle a+b = cd.\)

Proposed by Á. Kertész

(5 pont)

Deadline expired on December 12, 2016.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Vonjuk ki egymásból a két egyenletet:

\(\displaystyle ab-a-b=c+d-cd.\)

Hozzunk mindent a bal oldalra és adjunk 2-t mindkét oldalhoz:

\(\displaystyle ab-a-b+1+cd-c-d+1=2.\)

A bal oldalt alakítsuk szorzattá:

\(\displaystyle (a-1)(b-1)+(c-1)(d-1) = 2.\)

Itt \(\displaystyle a-1\), \(\displaystyle b-1\), \(\displaystyle c-1\), \(\displaystyle d-1\) nemnegativ egész számok, szorzatuk is az. Két ilyen szám összege csak úgy lehet \(\displaystyle 2\), ha \(\displaystyle 1+1\) vagy \(\displaystyle 2+0\). (\(\displaystyle 1+1\))-nél a szorzat csak úgy lehet \(\displaystyle 1\), ha mindegyik tényezője \(\displaystyle 1\). Ebből \(\displaystyle a=b=c=d=2\) adódik, ami a feladat kikötése miatt nem megoldás. A \(\displaystyle 2+0\) esetnél a szorzat csak úgy lehet \(\displaystyle 2\), ha \(\displaystyle 1\cdot2\), innen a lehetséges megoldások:

\(\displaystyle a=2, b=3,c=1,d=5;\)

\(\displaystyle a=2,b=3,c=5,d=1;\)

\(\displaystyle a=3,b=2,c=1,d=5;\)

\(\displaystyle a=3,b=2,c=5,d=1;\)

\(\displaystyle a=1,b=5,c=2,d=3;\)

\(\displaystyle a=1,b=5,c=3,d=2;\)

\(\displaystyle a=5,b=1,c=2,d=3;\)

\(\displaystyle a=5,b=1,c=3,d=2.\)

Statistics:

58 students sent a solution.
5 points:	Agócs Katinka, Árvai Balázs, Balbisi Mirjam, Édes Lili, Erdődi Ádám Károly, Kis 999 Alexandra, Kocsis Ábel, Kocsis Júlia, Kormányos Hanna Rebeka, Magyar 257 Boglárka, Mészáros Melinda, Nagy 911 Viktória, Nagy Odett, Németh Csilla Márta, Radó Albert, Surján Anett, Szalay Gergő, Szécsi Adél Lilla, Szilágyi Éva, Takács 666 Réka, Tatai Mihály, Varga 157 Kristóf, Wolff Vilmos, Zeller Doroti, Zsombó István.
4 points:	Ágoston Tamás, János Zsuzsa Anna, Kassai Levente, Komoróczy Ádám, Likavcsán János, Nagy Olivér, Rittgasszer Ákos, Simon Ákos, Wrabel Balázs.
3 points:	3 students.
2 points:	7 students.
1 point:	9 students.
0 point:	5 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2016