Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 1387. (December 2016)

C. 1387. Determine the base \(\displaystyle x\) in which the following equation holds:

\(\displaystyle 2016_x=x^3+2x+342. \)

(Matlap, Kolozsvár)

(5 pont)

Deadline expired on January 10, 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle x\geq7\) egész szám (mivel a \(\displaystyle 6\)-os is szerepel a számjegyek között). A bal oldali számot helyiértékek szerint felírva az egyenlet így alakul:

\(\displaystyle 2x^3+x+6=x^3+2x+342.\)

Rendezve:

\(\displaystyle x^3-x=336.\)

A bal oldalt szorzattá alakítva:

\(\displaystyle x^3-x=x(x^2-1)=(x-1)x(x+1)=336.\)

Mivel \(\displaystyle 336=2^4\cdot3\cdot7=6\cdot7\cdot8\), azért \(\displaystyle x=7\) megoldás. Ha \(\displaystyle x>7\), akkor az \(\displaystyle (x-1)x(x+1)\) kifejezés értéke nagyobb, mint \(\displaystyle 6\cdot7\cdot8\), míg \(\displaystyle x<7\) esetén kisebb nála, tehát az \(\displaystyle x=7\) az egyetlen megoldás, ami a kezdeti feltételt is kielégíti.


Statistics:

274 students sent a solution.
5 points:210 students.
4 points:35 students.
3 points:14 students.
2 points:12 students.
1 point:1 student.
0 point:1 student.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2016