KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1387. (December 2016)

C. 1387. Determine the base \(\displaystyle x\) in which the following equation holds:

\(\displaystyle 2016_x=x^3+2x+342. \)

(Matlap, Kolozsvár)

(5 pont)

Deadline expired on 10 January 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle x\geq7\) egész szám (mivel a \(\displaystyle 6\)-os is szerepel a számjegyek között). A bal oldali számot helyiértékek szerint felírva az egyenlet így alakul:

\(\displaystyle 2x^3+x+6=x^3+2x+342.\)

Rendezve:

\(\displaystyle x^3-x=336.\)

A bal oldalt szorzattá alakítva:

\(\displaystyle x^3-x=x(x^2-1)=(x-1)x(x+1)=336.\)

Mivel \(\displaystyle 336=2^4\cdot3\cdot7=6\cdot7\cdot8\), azért \(\displaystyle x=7\) megoldás. Ha \(\displaystyle x>7\), akkor az \(\displaystyle (x-1)x(x+1)\) kifejezés értéke nagyobb, mint \(\displaystyle 6\cdot7\cdot8\), míg \(\displaystyle x<7\) esetén kisebb nála, tehát az \(\displaystyle x=7\) az egyetlen megoldás, ami a kezdeti feltételt is kielégíti.


Statistics:

274 students sent a solution.
5 points:210 students.
4 points:35 students.
3 points:14 students.
2 points:12 students.
1 point:1 student.
0 point:1 student.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley