Problem C. 1387. (December 2016)
C. 1387. Determine the base \(\displaystyle x\) in which the following equation holds:
\(\displaystyle 2016_x=x^3+2x+342. \)
(Matlap, Kolozsvár)
(5 pont)
Deadline expired on January 10, 2017.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. \(\displaystyle x\geq7\) egész szám (mivel a \(\displaystyle 6\)-os is szerepel a számjegyek között). A bal oldali számot helyiértékek szerint felírva az egyenlet így alakul:
\(\displaystyle 2x^3+x+6=x^3+2x+342.\)
Rendezve:
\(\displaystyle x^3-x=336.\)
A bal oldalt szorzattá alakítva:
\(\displaystyle x^3-x=x(x^2-1)=(x-1)x(x+1)=336.\)
Mivel \(\displaystyle 336=2^4\cdot3\cdot7=6\cdot7\cdot8\), azért \(\displaystyle x=7\) megoldás. Ha \(\displaystyle x>7\), akkor az \(\displaystyle (x-1)x(x+1)\) kifejezés értéke nagyobb, mint \(\displaystyle 6\cdot7\cdot8\), míg \(\displaystyle x<7\) esetén kisebb nála, tehát az \(\displaystyle x=7\) az egyetlen megoldás, ami a kezdeti feltételt is kielégíti.
Statistics:
274 students sent a solution. 5 points: 210 students. 4 points: 35 students. 3 points: 14 students. 2 points: 12 students. 1 point: 1 student. 0 point: 1 student. Unfair, not evaluated: 1 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, December 2016