Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem C. 1387. (December 2016)

C. 1387. Determine the base \(\displaystyle x\) in which the following equation holds:

\(\displaystyle 2016_x=x^3+2x+342. \)

(Matlap, Kolozsvár)

(5 pont)

Deadline expired on January 10, 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle x\geq7\) egész szám (mivel a \(\displaystyle 6\)-os is szerepel a számjegyek között). A bal oldali számot helyiértékek szerint felírva az egyenlet így alakul:

\(\displaystyle 2x^3+x+6=x^3+2x+342.\)

Rendezve:

\(\displaystyle x^3-x=336.\)

A bal oldalt szorzattá alakítva:

\(\displaystyle x^3-x=x(x^2-1)=(x-1)x(x+1)=336.\)

Mivel \(\displaystyle 336=2^4\cdot3\cdot7=6\cdot7\cdot8\), azért \(\displaystyle x=7\) megoldás. Ha \(\displaystyle x>7\), akkor az \(\displaystyle (x-1)x(x+1)\) kifejezés értéke nagyobb, mint \(\displaystyle 6\cdot7\cdot8\), míg \(\displaystyle x<7\) esetén kisebb nála, tehát az \(\displaystyle x=7\) az egyetlen megoldás, ami a kezdeti feltételt is kielégíti.


Statistics:

274 students sent a solution.
5 points:210 students.
4 points:35 students.
3 points:14 students.
2 points:12 students.
1 point:1 student.
0 point:1 student.
Unfair, not evaluated:1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2016