Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1388. feladat (2016. december)

C. 1388. Egy téglalap alakú biliárdasztal elülső, illetve hátsó szegélye 90 cm, a bal, illetve jobb oldali szegélye pedig 180 cm. Az asztal elülső szegélyétől 10 cm-re és a bal oldali szegélytől 15 cm-re elhelyezkedő golyót úgy lökjük meg, hogy az előbb az asztal elülső szegélyének, majd a jobb oldali szegélynek ütközve a legrövidebb úton beguruljon a bal hátsó sarokban lévő lyukba. Milyen hosszú utat fut be a golyó a lyukig? (A golyó és a lyuk méretét elhanyagolhatónak tekintjük.)

Javasolta: Olosz Ferenc (Szatmárnémeti)

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. január 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Legyen a biliárdasztal a \(\displaystyle DEFG\) téglalap. A golyó az \(\displaystyle A\) pontból indul, ütközik az \(\displaystyle EF\) oldallal a \(\displaystyle B\) pontban, majd az \(\displaystyle FG\) oldallal a \(\displaystyle C\) pontban, és a \(\displaystyle D\) pontban betalál a lyukba. Tükrözzük a \(\displaystyle DEFG\) téglalapot az \(\displaystyle EF\) oldalára, majd a keletkező \(\displaystyle EHIF\) téglalapot az \(\displaystyle IF\) oldalára. A második tükrözés eredménye az \(\displaystyle FIJK\) téglalap. A \(\displaystyle D\) lyuk kétszeres tükrözés utáni képe a \(\displaystyle J\) pont.

A golyó legrövidebb útja az \(\displaystyle A\)-tól \(\displaystyle J\)-ig az \(\displaystyle AJ\) egyenes szakasz. Így a \(\displaystyle B\) pont az \(\displaystyle EF\) és az \(\displaystyle AJ\) szakasz metszéspontja, a \(\displaystyle C\) pont pedig az \(\displaystyle FI\) és \(\displaystyle AJ\) szakaszok \(\displaystyle N\) metszéspontjának tükörképe az \(\displaystyle EF\) egyenesre.

A golyó útja az \(\displaystyle AJ\) szakasz hosszával egyezik meg, ami az \(\displaystyle ALJ\) derékszögű háromszög átfogója.

A feladat szövege szerint \(\displaystyle EF=90\) cm, \(\displaystyle DE=EH=ML=180\) cm, \(\displaystyle AM=10\) cm, \(\displaystyle EM=15\) cm, így \(\displaystyle AL=AM+ML=190\) cm, \(\displaystyle LJ=2EF-EM=165\) cm. Ebből

\(\displaystyle AJ=\sqrt{AL^2+LJ^2}\approx 251,64\mathrm{~cm}.\)

Tehát a golyó \(\displaystyle 251,64\) cm hosszú utat fut be a lyukig.


Statisztika:

211 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:164 versenyző.
4 pontot kapott:4 versenyző.
3 pontot kapott:22 versenyző.
2 pontot kapott:8 versenyző.
1 pontot kapott:7 versenyző.
0 pontot kapott:6 versenyző.

A KöMaL 2016. decemberi matematika feladatai