A C. 1388. feladat (2016. december) |
C. 1388. Egy téglalap alakú biliárdasztal elülső, illetve hátsó szegélye 90 cm, a bal, illetve jobb oldali szegélye pedig 180 cm. Az asztal elülső szegélyétől 10 cm-re és a bal oldali szegélytől 15 cm-re elhelyezkedő golyót úgy lökjük meg, hogy az előbb az asztal elülső szegélyének, majd a jobb oldali szegélynek ütközve a legrövidebb úton beguruljon a bal hátsó sarokban lévő lyukba. Milyen hosszú utat fut be a golyó a lyukig? (A golyó és a lyuk méretét elhanyagolhatónak tekintjük.)
Javasolta: Olosz Ferenc (Szatmárnémeti)
(5 pont)
A beküldési határidő 2017. január 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyen a biliárdasztal a \(\displaystyle DEFG\) téglalap. A golyó az \(\displaystyle A\) pontból indul, ütközik az \(\displaystyle EF\) oldallal a \(\displaystyle B\) pontban, majd az \(\displaystyle FG\) oldallal a \(\displaystyle C\) pontban, és a \(\displaystyle D\) pontban betalál a lyukba. Tükrözzük a \(\displaystyle DEFG\) téglalapot az \(\displaystyle EF\) oldalára, majd a keletkező \(\displaystyle EHIF\) téglalapot az \(\displaystyle IF\) oldalára. A második tükrözés eredménye az \(\displaystyle FIJK\) téglalap. A \(\displaystyle D\) lyuk kétszeres tükrözés utáni képe a \(\displaystyle J\) pont.
A golyó legrövidebb útja az \(\displaystyle A\)-tól \(\displaystyle J\)-ig az \(\displaystyle AJ\) egyenes szakasz. Így a \(\displaystyle B\) pont az \(\displaystyle EF\) és az \(\displaystyle AJ\) szakasz metszéspontja, a \(\displaystyle C\) pont pedig az \(\displaystyle FI\) és \(\displaystyle AJ\) szakaszok \(\displaystyle N\) metszéspontjának tükörképe az \(\displaystyle EF\) egyenesre.
A golyó útja az \(\displaystyle AJ\) szakasz hosszával egyezik meg, ami az \(\displaystyle ALJ\) derékszögű háromszög átfogója.
A feladat szövege szerint \(\displaystyle EF=90\) cm, \(\displaystyle DE=EH=ML=180\) cm, \(\displaystyle AM=10\) cm, \(\displaystyle EM=15\) cm, így \(\displaystyle AL=AM+ML=190\) cm, \(\displaystyle LJ=2EF-EM=165\) cm. Ebből
\(\displaystyle AJ=\sqrt{AL^2+LJ^2}\approx 251,64\mathrm{~cm}.\)
Tehát a golyó \(\displaystyle 251,64\) cm hosszú utat fut be a lyukig.
Statisztika:
211 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 164 versenyző. 4 pontot kapott: 4 versenyző. 3 pontot kapott: 22 versenyző. 2 pontot kapott: 8 versenyző. 1 pontot kapott: 7 versenyző. 0 pontot kapott: 6 versenyző.
A KöMaL 2016. decemberi matematika feladatai