KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1389. (December 2016)

C. 1389. Find the common points of the curves of equations \(\displaystyle y={(x-1)}^2\) and \(\displaystyle y=1-\sqrt x\,\).

(5 pont)

Deadline expired on 10 January 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Azokat a pontokat keressük, melyek \(\displaystyle x\) koordinátájára teljesül az alábbi egyenlet:

\(\displaystyle (x-1)^2=1-\sqrt x.\)

Mivel negatív számoknak nincs valós négyzetgyöke, így \(\displaystyle 0≤x\), másrészt az egyenlet bal oldala nem negatív, így a jobb oldalnak is annak kell lenni, így \(\displaystyle \sqrt x≤1\), vagyis \(\displaystyle x≤1\). Tehát tudjuk, hogy \(\displaystyle 0≤x≤1\).

A négyzetre emelést elvégezve, az egyenlet mindkét oldalából 1-et levonva és rendezve:

\(\displaystyle -x^2+2x=\sqrt x.\)

Mivel az \(\displaystyle x\)-re vonatkozó kikötés miatt mindkét oldal nemnegatív, ekvivalens átalakítás, ha mindkét oldalt négyzetre emeljük:

\(\displaystyle x^4-4x^3+4x^2=x.\)

Bal oldalra rendezve és \(\displaystyle x\)-t kiemelve:

\(\displaystyle x\cdot(x^3-4x^2+4x-1)=0.\)

Láthatjuk, hogy \(\displaystyle x=0\) mellett \(\displaystyle x=1\) is megoldás, ezért \(\displaystyle (x-1)\) a harmadfokú tagból kiemelhető:

\(\displaystyle x\cdot(x-1)(x^2-3x+1)=0.\)

A másodfokú kifejezés akkor lesz nulla, ha \(\displaystyle x_3=\frac{3-\sqrt5}{2}\) vagy \(\displaystyle x_4=\frac{3+\sqrt5}{2}\). Utóbbi azonban 1-nél nagyobb szám, így nem felel meg a kikötésnek.

Így a megoldások: \(\displaystyle x_1=0\), \(\displaystyle x_2=1\), \(\displaystyle x_3=\frac{3-\sqrt5}{2}\). Tehát három közös pontja van a görbéknek: \(\displaystyle A(0;1)\), \(\displaystyle B(1;0)\) és \(\displaystyle C\left(\frac{3-\sqrt5}{2};\frac{3-\sqrt5}{2}\right)\), ugyanis

\(\displaystyle \left(\frac{3-\sqrt5}{2}-1\right)^2=\frac{9-6\sqrt5+5}{4}-3+\sqrt5+1=\frac{14-6\sqrt5}{4}+\frac{-8+4\sqrt5}{4}=\frac{6-2\sqrt5}{4}=\frac{3-\sqrt5}{2}.\)


Statistics:

226 students sent a solution.
5 points:101 students.
4 points:53 students.
3 points:14 students.
2 points:12 students.
1 point:36 students.
0 point:8 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley