Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1389. feladat (2016. december)

C. 1389. Melyek a közös pontjai az \(\displaystyle y={(x-1)}^2\) és az \(\displaystyle y=1-\sqrt x\) egyenletű görbéknek?

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. január 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Azokat a pontokat keressük, melyek \(\displaystyle x\) koordinátájára teljesül az alábbi egyenlet:

\(\displaystyle (x-1)^2=1-\sqrt x.\)

Mivel negatív számoknak nincs valós négyzetgyöke, így \(\displaystyle 0≤x\), másrészt az egyenlet bal oldala nem negatív, így a jobb oldalnak is annak kell lenni, így \(\displaystyle \sqrt x≤1\), vagyis \(\displaystyle x≤1\). Tehát tudjuk, hogy \(\displaystyle 0≤x≤1\).

A négyzetre emelést elvégezve, az egyenlet mindkét oldalából 1-et levonva és rendezve:

\(\displaystyle -x^2+2x=\sqrt x.\)

Mivel az \(\displaystyle x\)-re vonatkozó kikötés miatt mindkét oldal nemnegatív, ekvivalens átalakítás, ha mindkét oldalt négyzetre emeljük:

\(\displaystyle x^4-4x^3+4x^2=x.\)

Bal oldalra rendezve és \(\displaystyle x\)-t kiemelve:

\(\displaystyle x\cdot(x^3-4x^2+4x-1)=0.\)

Láthatjuk, hogy \(\displaystyle x=0\) mellett \(\displaystyle x=1\) is megoldás, ezért \(\displaystyle (x-1)\) a harmadfokú tagból kiemelhető:

\(\displaystyle x\cdot(x-1)(x^2-3x+1)=0.\)

A másodfokú kifejezés akkor lesz nulla, ha \(\displaystyle x_3=\frac{3-\sqrt5}{2}\) vagy \(\displaystyle x_4=\frac{3+\sqrt5}{2}\). Utóbbi azonban 1-nél nagyobb szám, így nem felel meg a kikötésnek.

Így a megoldások: \(\displaystyle x_1=0\), \(\displaystyle x_2=1\), \(\displaystyle x_3=\frac{3-\sqrt5}{2}\). Tehát három közös pontja van a görbéknek: \(\displaystyle A(0;1)\), \(\displaystyle B(1;0)\) és \(\displaystyle C\left(\frac{3-\sqrt5}{2};\frac{3-\sqrt5}{2}\right)\), ugyanis

\(\displaystyle \left(\frac{3-\sqrt5}{2}-1\right)^2=\frac{9-6\sqrt5+5}{4}-3+\sqrt5+1=\frac{14-6\sqrt5}{4}+\frac{-8+4\sqrt5}{4}=\frac{6-2\sqrt5}{4}=\frac{3-\sqrt5}{2}.\)


Statisztika:

226 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:101 versenyző.
4 pontot kapott:53 versenyző.
3 pontot kapott:14 versenyző.
2 pontot kapott:12 versenyző.
1 pontot kapott:36 versenyző.
0 pontot kapott:8 versenyző.
Nem versenyszerű:2 dolgozat.

A KöMaL 2016. decemberi matematika feladatai