KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1390. (December 2016)

C. 1390. Triangle \(\displaystyle ABC\) is right-angled at vertex \(\displaystyle C\). A central similitude of centre \(\displaystyle C\) and negative scale factor is applied, to obtain a diminished triangle \(\displaystyle A'B'C\). Given that \(\displaystyle BC=5\), \(\displaystyle B'C=0.2\) and \(\displaystyle \tan \alpha =2.4\), prove that the interior angle bisector from \(\displaystyle B\) and the exterior angle bisector from \(\displaystyle B'\) intersect at the midpoint of \(\displaystyle AA'\).

(5 pont)

Deadline expired on 10 January 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelölje \(\displaystyle F\) a \(\displaystyle B\)-ből induló belső szögfelező és \(\displaystyle AC\) metszéspontját. Ekkor \(\displaystyle \tg α=\frac{BC}{AC}=2,4\) és \(\displaystyle BC=5\), így \(\displaystyle AC=\frac{BC}{\tg α}=\frac{5}{2,4}=\frac{25}{12}\).

A Pitagorasz-tétel alapján \(\displaystyle AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\frac{65}{12}\).

A szögfelező tétel alapján az \(\displaystyle ABC\) háromszögben:

\(\displaystyle \frac{AF}{FC}=\frac{AB}{BC},\)

\(\displaystyle \frac{\frac{25}{12}-FC}{FC}=\frac{\frac{65}{12}}{5}.\)

Rendezve:

\(\displaystyle FC=1.\)

Ebből

\(\displaystyle AF=\frac{25}{12}-FC=\frac{25}{12}-1=\frac{13}{12}.\)

A kicsinyítés miatt az \(\displaystyle ABC\) és az \(\displaystyle A’B’C\) háromszögek hasonlók, a hasonlóság aránya \(\displaystyle λ=\frac{0,2}{5}=\frac{1}{25}\). Ebből \(\displaystyle A'C=\frac{AC}{25}=\frac{1}{12}\), és így \(\displaystyle A'F=A'C+FC=\frac{13}{12}\). Tehát \(\displaystyle A'F=AF\), vagyis a \(\displaystyle B\)-ből induló szögfelező felezi az \(\displaystyle AA’\) szakaszt.

Már csak annyit kell bizonyítanunk, hogy a \(\displaystyle B’\) pontból induló külső szögfelező is az \(\displaystyle F\) pontban metszi az \(\displaystyle AA’\) szakaszt.

Tegyük fel, hogy ez a külső szögfelező egy \(\displaystyle G\) pontban metszi az \(\displaystyle AA’\) szakaszt. Mivel a kicsinyítés szögtartó, ezért a \(\displaystyle CA'B'∡=α\), \(\displaystyle CB’A’∡=90^{\circ}-α\). A \(\displaystyle B’\)-nél lévő külső szög \(\displaystyle 180^{\circ}-CB’A’∡=90^{\circ}+α\), így \(\displaystyle CB’G∡=\frac{90^{\circ}+α}{2}\).

Mivel \(\displaystyle CBF∡=\frac{β}{2}=\frac{90^{\circ}-α}{2}\), azért \(\displaystyle \tg \frac{β}{2}=\tg \frac{90^{\circ}-α}{2}=\frac{FC}{BC}=\frac{1}{5}\) .

A \(\displaystyle CB’G∡=\frac{90^{\circ}+α}{2}\) a \(\displaystyle \frac{90^{\circ}-α}{2}\) szög pótszöge, így \(\displaystyle \tg\frac{90^{\circ}+α}{2}=5\).

A \(\displaystyle CB’G\) háromszögben \(\displaystyle B'C=λ\cdot BC=\frac{5}{25}=\frac{1}{5}=0,2\).

A fentiek felhasználásával \(\displaystyle \tg CB’G∡=\tg \frac{90^{\circ}+α}{2}=\frac{GC}{B'C},\), amiből \(\displaystyle 5=\frac{GC}{0,2}\), és így \(\displaystyle GC=1=FC\).

Tehát a \(\displaystyle G\) és az \(\displaystyle F\) pont megegyezik, a két szögfelező az \(\displaystyle AA’\) szakasz felezőpontjában metszi egymást.


Statistics:

56 students sent a solution.
5 points:Agócs Katinka, Árvai Balázs, Balbisi Mirjam, Barczikai Noémi, Bolyhos Patrik, Csapó Márton, Dankowsky Anna Zóra, Demeter Bianka Vivien, Dézsi Viktória, Édes Lili, Frivaldszky Donát, Galvács Ákos, Gera Dóra, Inges Zénó, Kocsis Ábel, Kocsis Júlia, Komoróczy Ádám, Kormányos Hanna Rebeka, Kulcsár Krisztina, Mácz Andrea, Magyar 257 Boglárka, Mészáros Melinda, Nagy 911 Viktória, Nagy Enikő, Nagy Odett, Nagy Olivér, Németh Csilla Márta, Perényi Gellért, Rittgasszer Ákos, Sántha 001 Balázs, Surján Anett, Szalay Gergő, Szécsi Adél Lilla, Szilágyi Botond, Szilágyi Éva, Szűcs 865 Eszter, Takács 666 Réka, Tanács Viktória, Tatai Mihály, Tolmácsi Ágnes, Török Attila, Török Boldizsár, Varga 274 Tamás, Wolff Vilmos, Wrabel Balázs, Zsombó István.
4 points:5 students.
3 points:3 students.
2 points:1 student.
0 point:1 student.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley