Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 1391. (December 2016)

C. 1391. Ever since his birth, Martin gets as many decks of 32 cards for Christmas as the number of Christmas days he has seen, including the current one. One year, on the second day of Christmas (that is, on his birthday) he decided to build a specific castle out of the cards he had received. The lowermost level consisted of 216 cards, and every consecutive level had 8 cards less in it than the level below. How old was Martin if he managed to build 16 levels?

(5 pont)

Deadline expired on January 10, 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Marci most \(\displaystyle x\) éves, így \(\displaystyle 32x\) kártyalapot kapott karácsonyra, első születésnapja előtt, karácsonykor pedig 32 lapot. Így eddig, \(\displaystyle x\) év alatt \(\displaystyle \frac{32x+32}{2}\cdot x=16x^2+16x\) kártyalap gyűlt össze. Ezekből épít kártyavárat.

Az első szinten 216 lap van, a 16. szinten \(\displaystyle 216-15\cdot8=96\). A 17. szintre 88 kártya kellene még, de annyi már nincs. Így összesen \(\displaystyle \frac{216+96}{2} 16=2496\) lapot használt fel. Lehet, hogy kimaradt még pár lap, de a 17. szint felrakásához már nem elegendő.

Ezek alapján az egyenlőtlenségek, amiket felírhatunk:

\(\displaystyle 2496≤16x^2+16x<2496+88=2584.\)

A \(\displaystyle 16x^2+16x-2496=0\) egyenletet megoldásai: \(\displaystyle x_1=-13\), \(\displaystyle x_2=12\). Így a bal oldali \(\displaystyle 0≤16x^2+16x-2496\) egyenlőtlenség megoldása \(\displaystyle x≤-13\) vagy \(\displaystyle 12≤x\).

A \(\displaystyle 16x^2+16x-2584=0\) egyenletet megoldásai: \(\displaystyle x_1≈-13,22\), \(\displaystyle x_2≈12,22\).

Így a jobb oldali \(\displaystyle 16x^2+16x-2584<0\) egyenlőtlenség megoldása (felhasználva, hogy \(\displaystyle x\) egész szám):

\(\displaystyle -13≤x≤12.\)

A kettőt összevetve és figyelembe véve, hogy \(\displaystyle x\) pozitív, \(\displaystyle x\) értéke csak 12 lehet.

A 12 év alatt összegyűlt kártyák száma: \(\displaystyle 16\cdot12^2+16\cdot12=2496\), ami pont elegendő volt a 16 szint megépítéséhez.


Statistics:

118 students sent a solution.
5 points:Dombóvári Gergely, Kormányos Hanna Rebeka, Kovács 526 Tamás, Nagy Enikő, Németh Csilla Márta, Pszota Máté, Rittgasszer Ákos, Szécsi Adél Lilla, Takács 666 Réka, Tulipán Levente, Zsombó István.
4 points:Ágoston Tamás, Antal Georgina, Édes Lili, Horváth 546 János, Jámbor Lili, Kocsis Ábel, Komoróczy Ádám, Novák Márk, Ondrik Ákos, Surján Anett, Szalay Gergő, Wolff Vilmos.
3 points:65 students.
2 points:20 students.
1 point:9 students.
0 point:1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2016