KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1392. (January 2017)

C. 1392. The number \(\displaystyle 2017-(2+0+1+7)\) is divisible by the number \(\displaystyle (2+20+201)\), that is, 2017 has the following property: if the sum of the digits of the number is subtracted from it, the result will be a four-digit number that is divisible by the sum of the one-digit number formed by the first digit, the two-digit number formed by the first two digits, and the three-digit number formed by the first three digits. How many four-digit numbers have this property?

(5 pont)

Deadline expired on 10 February 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a keresett négyjegyű szám \(\displaystyle \overline{abcd}\). Így a feladat állítása:

\(\displaystyle (a+\overline{ab}+\overline{abc})|(\overline{abcd}-(a+b+c+d)).\)

A számokat tízes számrendszerben helyiértékekkel felírva:

\(\displaystyle (a+10a+b+100a+10b+c)|(1000a+100b+10c+d-a-b-c-d),\)

\(\displaystyle (111a+11b+c)|(999a+99b+9c),\)

\(\displaystyle (111a+11b+c)|9(111a+11b+c),\)

ami nyilván igaz.

Tehát az összes négyjegyű számra igaz, hogy a kivonás után kapott számra teljesül az oszthatósági feltétel.

Azt kell még megvizsgálnunk, hogy a kivonás után kapott szám mindig négyjegyű lesz-e.

Kipróbálva az 1000 esetében, láthatjuk, hogy 1000-(1+0+0+0)=999. A különbség háromjegyű és ez így van 1000-től 1009-ig felfelé haladva tíz szám esetében, mert a szám értéke pont annyival nő, amennyivel az egyes helyiértéken álló számjegy értéke. Ha tovább növeljük a számot, akkor a magasabb helyiértékeken megjelenő számjegyek többel növelik a szám értékét, mit a számjegy értéke, így többször nem fog előfordulni, hogy háromjegyű lesz a különbség.

Tehát \(\displaystyle 9000-10=8990\) ilyen tulajdonságú szám létezik.


Statistics:

163 students sent a solution.
5 points:Ajtai Boglárka, Andó Viola, Barta Ákos, Füredi Erik Benjámin, Gilicze Márton, Háder Márk István, Imre 212 Flóra, Jánosdeák Márk, Kertész Ferenc, Klučka Vivien, Kószó Máté József, Kovács 439 Boldizsár, Kovács 456 Bendeguz, Leskó Eszter Rózsa, Makovsky Mihály, Markó Anna Erzsébet, Markó Gábor, Molnár 410 István, Nagy 184 Nicole, Nagy Csaba Jenő, Pálvölgyi Szilveszter, Pinke Andrea, Sebe Anna, Szeibel Richard, Szepesi Zoltán, Tasi Dániel Vazul, Veibli-Magyari Kristóf, Vida Tamás, Virág Levente, Vitányi Borbála, Weisz Máté, Weisz Viktória.
4 points:84 students.
3 points:36 students.
2 points:5 students.
1 point:4 students.
0 point:2 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley