KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1393. Prove that there is no triangle whose altitudes have lengths 20, 17 and 9 cm.

(5 points)

This problem is for grade 1 - 10 students only.

Deadline expired on 10 February 2017.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Tegyük fel, hogy létezik ilyen háromszög. Ekkor a háromszög területét háromféleképpen felírva:

\(\displaystyle T=\frac{a\cdot m_a}{2}=\frac{b\cdot m_b}{2}=\frac{c\cdot m_c}{2}.\)

Ezekből fejezzük ki az oldalakat: \(\displaystyle a=\frac{2T}{m_a}\), \(\displaystyle b=\frac{2T}{m_b}\), \(\displaystyle c=\frac{2T}{m_c}\).

Írjuk fel a háromszög oldalaira a háromszög-egyenlőtlenséget: \(\displaystyle a+b>c\).

Az előbb kapott képleteket beírva és a \(\displaystyle T>0\) területtel osztva:

\(\displaystyle \frac{2T}{m_a} +\frac{2T}{m_b} >\frac{2T}{m_c},\)

\(\displaystyle \frac{1}{m_a} +\frac{1}{m_b} >\frac{1}{m_c}.\)

Legyen most a három magasság \(\displaystyle m_a>m_b>m_c\). Az adott értékeket behelyettesítve:

\(\displaystyle \frac{1}{20}+\frac{1}{17}>\frac 19.\)

Ez az egyenlőtlenség azonban nem teljesül, ugyanis

\(\displaystyle \frac{1}{20}+\frac{1}{17}=\frac{153}{3060}+\frac{180}{3060}=\frac{333}{3060}<\frac{340}{3060}=\frac 19.\)

Tehát az adott magasságokkal nem szerkeszthető háromszög.


Statistics on problem C. 1393.
143 students sent a solution.
5 points:106 students.
4 points:18 students.
3 points:11 students.
2 points:2 students.
1 point:3 students.
0 point:3 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, January 2017

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley