KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1393. (January 2017)

C. 1393. Prove that there is no triangle whose altitudes have lengths 20, 17 and 9 cm.

(5 pont)

Deadline expired on 10 February 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tegyük fel, hogy létezik ilyen háromszög. Ekkor a háromszög területét háromféleképpen felírva:

\(\displaystyle T=\frac{a\cdot m_a}{2}=\frac{b\cdot m_b}{2}=\frac{c\cdot m_c}{2}.\)

Ezekből fejezzük ki az oldalakat: \(\displaystyle a=\frac{2T}{m_a}\), \(\displaystyle b=\frac{2T}{m_b}\), \(\displaystyle c=\frac{2T}{m_c}\).

Írjuk fel a háromszög oldalaira a háromszög-egyenlőtlenséget: \(\displaystyle a+b>c\).

Az előbb kapott képleteket beírva és a \(\displaystyle T>0\) területtel osztva:

\(\displaystyle \frac{2T}{m_a} +\frac{2T}{m_b} >\frac{2T}{m_c},\)

\(\displaystyle \frac{1}{m_a} +\frac{1}{m_b} >\frac{1}{m_c}.\)

Legyen most a három magasság \(\displaystyle m_a>m_b>m_c\). Az adott értékeket behelyettesítve:

\(\displaystyle \frac{1}{20}+\frac{1}{17}>\frac 19.\)

Ez az egyenlőtlenség azonban nem teljesül, ugyanis

\(\displaystyle \frac{1}{20}+\frac{1}{17}=\frac{153}{3060}+\frac{180}{3060}=\frac{333}{3060}<\frac{340}{3060}=\frac 19.\)

Tehát az adott magasságokkal nem szerkeszthető háromszög.


Statistics:

143 students sent a solution.
5 points:106 students.
4 points:18 students.
3 points:11 students.
2 points:2 students.
1 point:3 students.
0 point:3 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley