KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1396. (January 2017)

C. 1396. All through a football game, a record of the current score is kept and updated. How many different records are possible if the final result is 3-3? In what percentage of the possible records is there a part of the game when one team was leading by at least 2 goals?

(5 pont)

Deadline expired on 10 February 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a két csapat jele B és J és készítsük úgy a jegyzőkönyvet, hogy amelyik csapat gólt rúg, annak a betűjelét írjuk le. Így a jegyzőkönyvek hat betűből álló sorozatok lesznek, melyekben pontosan három B és három J betű szerepel. Ez 6 elem permutációja 3,3 ismétléssel: \(\displaystyle P_6^3=\frac{6!}{3!\cdot3!}=20\).

Tehát 20 féle jegyzőkönyv készülhet.

Ábrázoljuk a lehetséges jegyzőkönyveket egy gráffal. Ha a B csapat nyer, lépjünk balra, ha pedig a J, akkor jobbra (1. ábra). A csúcsok fölé írt számok azt jelentik, hogy hányféleképpen juthatunk abba a csúcsba.

1. ábra

Ha valamelyik csapat a mérkőzések során 2 góllal vezet, az azt jelenti, hogy elő kell fordulni a 2:0, 0:2, 3:0, 0:3, 3:1, 1:3 állások valamelyikének (2. ábra).

2. ábra

Vegyük ki ezeket a gráfból és nézzük meg, hogy ezek nélkül hány eset lehetséges!

8 ilyen eset van, tehát 12 esetben előfordul, hogy egyik csapat legalább két góllal vezet.

Ez az esetek \(\displaystyle \frac{12}{20}\) részében, vagyis \(\displaystyle 60\%\)-ban fordulhat elő.


Statistics:

253 students sent a solution.
5 points:153 students.
4 points:28 students.
3 points:34 students.
2 points:5 students.
1 point:3 students.
0 point:28 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley