KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1397. (January 2017)

C. 1397. Prove that the function

\(\displaystyle f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R},\quad x\mapsto \begin{cases} 2x+2-6k, & \text{if \ } x\in \left[6k; 6k+2\right[ ,\\ \frac{x-2+6k}{2}, & \text{if \ } x\in \left[6k+2; 6k+6\right[ \end{cases} \quad (k\in \mathbb{Z}) \)

(where \(\displaystyle k\) takes every integer value) is one-to-one and equal to its own inverse.

(5 pont)

Deadline expired on 10 February 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az \(\displaystyle y=2x+2\) és az \(\displaystyle y=\frac{x-2}{2}\) függvény szigorúan monoton növekvő. Így az adott függvény minden intervallumon szigorúan monoton növekvő, hiszen a fentiektől csak konstansban különbözik. Az értelmezési tartomány és az értékkészlet intervallumai is diszjunkt halmazok, ezért a hozzárendelés kölcsönösen egyértelmű.

Ha \(\displaystyle x∈[6k;6k+2[\), akkor \(\displaystyle f(x)=y=2x+2-6k\). Behelyettesítéssel láthatjuk, hogy az értékkészlet ehhez az intervallumhoz \(\displaystyle y∈[6k+2;6k+6[\) és \(\displaystyle y=2x+2-6k\).

Ebből \(\displaystyle x\)-et kifejezve: \(\displaystyle x=\frac{y-2+6k}{2}\).

A változókat felcseréve azt kapjuk, hogy ezen az intervallumon a függvény inverze:

\(\displaystyle f^{-1}(x)=\frac{x-2+6k}{2}\), ha \(\displaystyle x∈[6k+2;6k+6[\).

Hasonlóan, ha \(\displaystyle x∈[6k+2;6k+6[\), akkor \(\displaystyle f(x)=y=\frac{x-2+6k}{2}\), behelyettesítéssel az értékkészlet ehhez az intervallumhoz \(\displaystyle y∈[6k;6k+2[\) és \(\displaystyle y=\frac{x-2+6k}{2}\).

Ebből \(\displaystyle x\)-et kifejezve: \(\displaystyle x=2y+2-6k\).

A változókat felcseréve kapjuk a függvény inverzét ezen az intervallumon:

\(\displaystyle f^{-1}(x)=2x+2-6k\), ha \(\displaystyle x∈[6k;6k+2[\).

Ezzel beláttuk, hogy a függvény önmaga inverze.


Statistics:

36 students sent a solution.
5 points:Agócs Katinka, Balbisi Mirjam, Édes Lili, Kocsis Júlia, Kormányos Hanna Rebeka, Kovács 526 Tamás, Mácz Andrea, Nagy Olivér, Németh Csilla Márta, Rittgasszer Ákos, Surján Anett, Szalay Gergő, Szalay Máté Csongor, Szécsi Adél Lilla, Szilágyi Éva, Tatai Mihály, Zsombó István.
4 points:Árvai Balázs, Dankowsky Anna Zóra, Gera Dóra, Nagy Odett, Tanács Viktória, Thuróczy Mylan, Wolff Vilmos.
3 points:3 students.
2 points:2 students.
1 point:5 students.
0 point:2 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley