Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 1397. (January 2017)

C. 1397. Prove that the function

\(\displaystyle f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R},\quad x\mapsto \begin{cases} 2x+2-6k, & \text{if \ } x\in \left[6k; 6k+2\right[ ,\\ \frac{x-2+6k}{2}, & \text{if \ } x\in \left[6k+2; 6k+6\right[ \end{cases} \quad (k\in \mathbb{Z}) \)

(where \(\displaystyle k\) takes every integer value) is one-to-one and equal to its own inverse.

(5 pont)

Deadline expired on February 10, 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az \(\displaystyle y=2x+2\) és az \(\displaystyle y=\frac{x-2}{2}\) függvény szigorúan monoton növekvő. Így az adott függvény minden intervallumon szigorúan monoton növekvő, hiszen a fentiektől csak konstansban különbözik. Az értelmezési tartomány és az értékkészlet intervallumai is diszjunkt halmazok, ezért a hozzárendelés kölcsönösen egyértelmű.

Ha \(\displaystyle x∈[6k;6k+2[\), akkor \(\displaystyle f(x)=y=2x+2-6k\). Behelyettesítéssel láthatjuk, hogy az értékkészlet ehhez az intervallumhoz \(\displaystyle y∈[6k+2;6k+6[\) és \(\displaystyle y=2x+2-6k\).

Ebből \(\displaystyle x\)-et kifejezve: \(\displaystyle x=\frac{y-2+6k}{2}\).

A változókat felcseréve azt kapjuk, hogy ezen az intervallumon a függvény inverze:

\(\displaystyle f^{-1}(x)=\frac{x-2+6k}{2}\), ha \(\displaystyle x∈[6k+2;6k+6[\).

Hasonlóan, ha \(\displaystyle x∈[6k+2;6k+6[\), akkor \(\displaystyle f(x)=y=\frac{x-2+6k}{2}\), behelyettesítéssel az értékkészlet ehhez az intervallumhoz \(\displaystyle y∈[6k;6k+2[\) és \(\displaystyle y=\frac{x-2+6k}{2}\).

Ebből \(\displaystyle x\)-et kifejezve: \(\displaystyle x=2y+2-6k\).

A változókat felcseréve kapjuk a függvény inverzét ezen az intervallumon:

\(\displaystyle f^{-1}(x)=2x+2-6k\), ha \(\displaystyle x∈[6k;6k+2[\).

Ezzel beláttuk, hogy a függvény önmaga inverze.


Statistics:

36 students sent a solution.
5 points:Agócs Katinka, Balbisi Mirjam, Édes Lili, Kocsis Júlia, Kormányos Hanna Rebeka, Kovács 526 Tamás, Mácz Andrea, Nagy Olivér, Németh Csilla Márta, Rittgasszer Ákos, Surján Anett, Szalay Gergő, Szalay Máté Csongor, Szécsi Adél Lilla, Szilágyi Éva, Tatai Mihály, Zsombó István.
4 points:Árvai Balázs, Dankowsky Anna Zóra, Gera Dóra, Nagy Odett, Tanács Viktória, Thuróczy Mylan, Wolff Vilmos.
3 points:3 students.
2 points:2 students.
1 point:5 students.
0 point:2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2017